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埃尔米特插值法.
唯一性.
插值余项.

在Hermite插值法之前已经完成了《拉格朗日插值法》与《牛顿插值法》，前两种方法在进行插值时只要求原函数 f(x)f(x)f(x) 与插值函数 S(x)S(x)S(x) 在插值节点 xi,i=0,1,2,...,nx_i,i=0,1,2,...,nxi,i=0,1,2,...,n 处满足 f(x)=S(x)f(x)=S(x)f(x)=S(x).
许多实际问题要求的插值函数不仅仅针对函数值，还要求在插值节点的导数值和原函数相等，而埃尔米特插值法就是考虑一阶导数的更精确的插值法。

埃尔米特插值法.

已知函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 [a,b][a,b][a,b] 上 n+1n+1n+1 个相异点 a≤x0<x1<...<xn≤ba≤x_0<x_1<...<x_n≤ba≤x0<x1<...<xn≤b 处的函数值 f(xi)=yif(x_i)=y_if(xi)=yi 和导数值 f′(xi)=mif'(x_i)=m_if′(xi)=mi，存在一个次数不超过 2n+12n+12n+1 的多项式函数 H(x)H(x)H(x) 满足 H(xi)=f(xi),H′(xi)=f′(xi),i=0,1,2,...,nH(x_i)=f(x_i),H'(x_i)=f'(x_i),i=0,1,2,...,nH(xi)=f(xi),H′(xi)=f′(xi),i=0,1,2,...,n，该多项式函数 H(x)H(x)H(x) 称为 f(x)f(x)f(x) 的 2n+12n+12n+1 次Hermite插值多项式。
【存在性】设 H(x)=∑i=02n+1aixiH(x)=\sum^{2n+1}_{i=0}a_ix^iH(x)=∑i=02n+1aixi，那么根据函数值、导数值相等的 2n+22n+22n+2 个等式，能够解出系数 aia_iai. 后面会证明埃米尔特插值多项式的唯一性。
【推导】设 pj(x),qj(x),j=0,1,2,...,np_j(x),q_j(x),j=0,1,2,...,npj(x),qj(x),j=0,1,2,...,n 是 H2n+1(x)H_{2n+1}(x)H2n+1(x) 的 2n+22n+22n+2 个插值基函数，每个插值基函数都是 2n+12n+12n+1 次多项式，它们满足 pj(xi)=δji,pj′(xi)=0;qj(xi)=0,qj′(xi)=δjip_j(x_i)=\delta_{ji},p'_j(x_i)=0;q_j(x_i)=0,q'_j(x_i)=\delta_{ji}pj(xi)=δji,pj′(xi)=0;qj(xi)=0,qj′(xi)=δji，至此可以表示埃尔米特插值多项式为：H2n+1(x)=∑j=0n[yi⋅pj(x)+mi⋅qj(x)]H_{2n+1}(x)=\sum^n_{j=0}[y_i·p_j(x)+m_i·q_j(x)]H2n+1(x)=j=0∑n[yi⋅pj(x)+mi⋅qj(x)]
可以验证 H2n+1(xi)=yi,H2n+1′(xi)=miH_{2n+1}(x_i)=y_i,H'_{2n+1}(x_i)=m_iH2n+1(xi)=yi,H2n+1′(xi)=mi.
【pj(x)p_j(x)pj(x)】考察基函数 pj(x)p_j(x)pj(x)，2n+12n+12n+1 次多项式应有 2n+12n+12n+1 个零点，由于 pj(xi)=0,i≠j;pj′(xi)=0p_j(x_i)=0,i≠j;p'_j(x_i)=0pj(xi)=0,i=j;pj′(xi)=0，所以 xi,i≠jx_i,i≠jxi,i=j 为 pj(x)p_j(x)pj(x) 的 nnn 个二重零点，所以不妨设 pj(x)=(kx+b)lj2(x)p_j(x)=(kx+b)l^2_j(x)pj(x)=(kx+b)lj2(x)，其中 lj(x)=∏i=0,i≠jnx−xixj−xil_j(x)=\prod^n_{i=0,i≠j}\frac{x-x_i}{x_j-x_i}lj(x)=∏i=0,i=jnxj−xix−xi 是拉格朗日插值基函数。
根据条件 pj(xj)=1,pj′(xj)=0p_j(x_j)=1,p'_j(x_j)=0pj(xj)=1,pj′(xj)=0 可得 kxj+b=1,k+2lj′(xj)=0kx_j+b=1,k+2l'_j(x_j)=0kxj+b=1,k+2lj′(xj)=0，解得 k=−2lj′(xj),b=1+2xjlj′(xj)k=-2l'_j(x_j),b=1+2x_jl'_j(x_j)k=−2lj′(xj),b=1+2xjlj′(xj).
由于 lj′(xj)=∏i=0,i≠jn1xj−xil'_j(x_j)=\prod^n_{i=0,i≠j}\frac{1}{x_j-x_i}lj′(xj)=∏i=0,i=jnxj−xi1，所以 pj(x)=[(−2⋅∏i=0,i≠jn1xj−xi)(x−xj)+1]lj2(x)p_j(x)=[(-2·\prod^n_{i=0,i≠j}\frac{1}{x_j-x_i})(x-x_j)+1]l^2_j(x)pj(x)=[(−2⋅∏i=0,i=jnxj−xi1)(x−xj)+1]lj2(x).
【qj(x)q_j(x)qj(x)】过程类似，由于 qj(xi)=0;qj′(xi)=0,i≠jq_j(x_i)=0;q'_j(x_i)=0,i≠jqj(xi)=0;qj′(xi)=0,i=j，所以 xi,i≠jx_i,i≠jxi,i=j 是 qj(x)q_j(x)qj(x) 的 nnn 个二重根，另外 xjx_jxj 是单重根，所以 qj(x)=(x−xj)lj2(x)q_j(x)=(x-x_j)l^2_j(x)qj(x)=(x−xj)lj2(x).
综上，得到埃尔米特插值多项式：H2n+1(x)=∑j=0n[yi⋅pj(x)+mi⋅qj(x)]pj(x)=[(−2⋅∏i=0,i≠jn1xj−xi)(x−xj)+1]lj2(x)qj(x)=(x−xj)lj2(x)lj(x)=∏i=0,i≠jnx−xixj−xiH_{2n+1}(x)=\sum^n_{j=0}[y_i·p_j(x)+m_i·q_j(x)]\\p_j(x)=[(-2·\prod^n_{i=0,i≠j}\frac{1}{x_j-x_i})(x-x_j)+1]l^2_j(x)\\q_j(x)=(x-x_j)l^2_j(x)\\l_j(x)=\prod^n_{i=0,i≠j}\frac{x-x_i}{x_j-x_i}H2n+1(x)=j=0∑n[yi⋅pj(x)+mi⋅qj(x)]pj(x)=[(−2⋅i=0,i=j∏nxj−xi1)(x−xj)+1]lj2(x)qj(x)=(x−xj)lj2(x)lj(x)=i=0,i=j∏nxj−xix−xi

唯一性.

满足Hermite插值条件的多项式是唯一的。
【证明】假设 H2n+1(x)H_{2n+1}(x)H2n+1(x) 和 F2n+1(x)F_{2n+1}(x)F2n+1(x) 都是满足Hermite插值条件的多项式函数，构造函数 ϕ(x)=H2n+1(x)−F2n+1(x)\phi(x)=H_{2n+1}(x)-F_{2n+1}(x)ϕ(x)=H2n+1(x)−F2n+1(x)，可以发现对于 xi,i=0,1,2,...,nx_i,i=0,1,2,...,nxi,i=0,1,2,...,n 而言有 ϕ(xi)=ϕ′(xi)=0\phi(x_i)=\phi'(x_i)=0ϕ(xi)=ϕ′(xi)=0，因此 ϕ(x)\phi(x)ϕ(x) 有 n+1n+1n+1 个二重根，即 2n+22n+22n+2 个根，但显然 ϕ(x)\phi(x)ϕ(x) 不超过 2n+12n+12n+1 次，唯一的可能是 ϕ(x)≡0\phi(x)≡0ϕ(x)≡0 才能找到 2n+22n+22n+2 个根，所以 H≡FH≡FH≡F，说明满足Hermite插值条件的多项式是唯一的。

插值余项.

从埃尔米特插值法的推导过程不难发现，它和拉格朗日插值法关系密切，其插值余项为 R2n+1(x)=f(2n+2)(ξ)(2n+2)!ωn+12(x)R_{2n+1}(x)=\frac{f^{(2n+2)}(\xi)}{(2n+2)!}\omega^2_{n+1}(x)R2n+1(x)=(2n+2)!f(2n+2)(ξ)ωn+12(x).
【证明】证明过程和拉格朗日插值余项证明过程类似，由于 R2n+1(xi)=R2n+1′(xi)=0,i=0,1,2,...,nR_{2n+1}(x_i)=R'_{2n+1}(x_i)=0,i=0,1,2,...,nR2n+1(xi)=R2n+1′(xi)=0,i=0,1,2,...,n，因此它有 n+1n+1n+1 个二重根，可以设 R2n+1=K(x)⋅∏i=0n(x−xi)2R_{2n+1}=K(x)·\prod^n_{i=0}(x-x_i)^2R2n+1=K(x)⋅∏i=0n(x−xi)2，后续过程和拉格朗日插值余项完全一致(迭代使用罗尔定理)。
可得 K(x)=f(2n+2)(ξ)(2n+2)!,ξ∈(a,b)K(x)=\frac{f^{(2n+2)}(\xi)}{(2n+2)!},\xi∈(a,b)K(x)=(2n+2)!f(2n+2)(ξ),ξ∈(a,b)，另外 ωn+1(x)=∏i=0n(x−xi)\omega_{n+1}(x)=\prod^n_{i=0}(x-x_i)ωn+1(x)=∏i=0n(x−xi)，至此埃尔米特插值余项得证，可以发现给定同样个数插值节点的情况下，其减小趋势要比拉格朗日插值余项更迅速(不一定增加节点插值余项一定减小，因为余项不仅和节点数有关，下文会提及)。

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