数学建模-3.插值算法

插值算法

适用情况：需要根据已知的函数点进行进行数据、模型的处理和分析，但数据量少，且有缺失，这时需要“模拟产生”一些新的又比较靠谱的值来满足需求

插值法定义：

对于其中的P(x)求解，有不同的方法从而求出P(x)函数的多种形式
如：多项式插值法和分段插值法

1.插值多项式

常用多项式插值方法-拉格朗日插值法

存在的问题-龙格现象

由图可见，同一区间在选取拉格朗日多项式的n时，在不熟悉曲线运动趋势前提下不可轻易使用高次插值。原因：高次插值会产生龙格现象，两端波动极大，有明显动荡。
牛顿插值法

牛顿插值法相对拉格朗日插值法具有继承性
二者共同存在问题：
1)同样存在龙格现象
2)仅考虑了被插函数函数值，并没有考虑节点的低阶、高阶的导数值，故不能全面反应被插值函数的形态
2.分段插值
基于插值多项式的两个问题：
1）次数高精度未必显著高
2）次数高误差可能显著增大
如何提高精度？——分段低次插值

分段二次插值

3.埃尔米特插值（Hermite）
对于上述牛顿插值法和拉格朗日插值法的共同缺点，引入埃尔米特插值法。
不仅要求在节点上函数值相等，而且要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等。满足前述要求的插值多项式即埃尔米特插值多项式
原理：

但是直接使用Hermite插值得到的多项式次数较高，同样存在龙格现象，因此常用分段三次Hermite插值多项式(PCHIP函数)
找需插值点最近的四个点构成三次函数，来对该点进行插值
实现：matlab中PCHIP函数
4.三次样条插值
相比分段三次插值多项式，三次样条插值要求更严格，还要求了在区间上连续可微
概念：

实现：matlab里的spline函数
5.n维数据的插值（了解）

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