P4546 [THUWC2017]在美妙的数学王国中畅游

$ \color{#0066ff}{ 题目描述 }$

学渣小R被大学的数学课程虐得生活不能自理，微积分的成绩曾是他在教室里上的课的最低分。然而他的某位陈姓室友却能轻松地在数学考试中得到满分。为了提升自己的数学课成绩，有一天晚上（在他睡觉的时候），他来到了数学王国。

数学王国中，每个人的智商可以用一个属于$[0,1]$的实数表示。数学王国中有$n$个城市，编号从$0$到$n-1$，这些城市由若干座魔法桥连接。每个城市的中心都有一个魔法球，每个魔法球中藏有一道数学题。每个人在做完这道数学题之后都会得到一个在$[0,1]$区间内的分数。一道题可以用一个从$[0,1]$映射到$[0,1]$的函数$f(x)$表示。若一个人的智商为$x$，则他做完这道数学题之后会得到$f(x)$分。函数fff有三种形式：

正弦函数$sin(a x + b)\ (a \in [0,1], b \in [0,\pi],a+b\in[0,\pi])$
指数函数$e^{ax+b}\ (a\in [-1,1], b\in [-2,0], a+b\in [-2,0])$
一次函数$ax + b\ (a\in [-1,1],b\in[0,1],a+b\in [0,1])$

数学王国中的魔法桥会发生变化，有时会有一座魔法桥消失，有时会有一座魔法桥出现。但在任意时刻，只存在至多一条连接任意两个城市的简单路径（即所有城市形成一个森林）。在初始情况下，数学王国中不存在任何的魔法桥。

数学王国的国王拉格朗日很乐意传授小R数学知识，但前提是小R要先回答国王的问题。这些问题具有相同的形式，即一个智商为$x$的人从城市$u$旅行到城市$v$（即经过$u$到$v$这条路径上的所有城市，包括$u$和$v$）且做了所有城市内的数学题后，他所有得分的总和是多少。

$\color{#0066ff}{输入格式}$

第一行两个正整数 $n,m$和一个字符串$type$。表示数学王国中共有$n$座城市，发生了$m$个事件，该数据的类型为$type$。$type$字符串是为了能让大家更方便地获得部分分，你可能不需要用到这个输入。其具体含义在【限制与约定】中有解释。

接下来$n$行，第$i$行表示初始情况下编号为 $i$ 的城市的魔法球中的函数。一个魔法用一个整数 $f$ 表示函数的类型，两个实数 $a,b$ 表示函数的参数，若

$f=1$,则函数为$f(x)=sin(ax+b)(a \in [0,1], b \in [0,\pi],a+b\in[0,\pi])$
$f=2$,则函数为$f(x)=e^{ax+b}(a\in[-1,1],b\in[-2,0],a+b\in[-2,0])$
$f=3$,则函数为$f(x)=ax+b(a\in[-1,1],b\in[0,1],a+b\in[0,1])$

接下来 $m$ 行，每行描述一个事件，事件分为四类。

appear u v 表示数学王国中出现了一条连接$u$和$v$这两座城市的魔法桥$(0\le u,v < n, u\ne v)$，保证连接前$u$和$v$这两座城市不能互相到达。
disappear u v 表示数学王国中连接$u$和$v$这两座城市的魔法桥消失了，保证这座魔法桥是存在的。
magic c f a b 表示城市$c$的魔法球中的魔法变成了类型为$f$，参数为$a,b$的函数
travel u v x 表示询问一个智商为$x$的人从城市$u$旅行到城市$v$（即经过$u$到$v$这条路径上的所有城市，包括$u$和$v$）后，他得分的总和是多少。若无法从$u$到达$v$，则输出一行一个字符串 unreachable。

$\color{#0066ff}{输出格式}$

对于每个询问，输出一行实数，表示得分的总和。

$\color{#0066ff}{输入样例}$

3 7 C1
1 1 0
3 0.5 0.5
3 -0.5 0.7
appear 0 1
travel 0 1 0.3
appear 0 2
travel 1 2 0.5
disappear 0 1
appear 1 2
travel 1 2 0.5

$\color{#0066ff}{输出样例}$

9.45520207e-001
1.67942554e+000
1.20000000e+000

$\color{#0066ff}{数据范围与提示}$

对于100%的数据，$1\le n\le 100000, 1\le m \le 200000$

本题共有20个数据点，每个数据点5分。

测试点	$n$	$m$	数据类型
$1$	$\leq 100$	$\leq 200$	C1
$2-5$	$\leq 100000$	$\leq 200000$	A0
$6$	null	null	B0
$7-8$	null	null	D0
$9-14$	null	null	A1
$15-17$	null	null	C1
$18-20$	null	null	D1

数据类型的含义：

A：不存在 disappear 事件，且所有appear事件中的$u=v-1$

B：不存在 disappear 事件

C：所有的 travel 事件经过的城市总数 $\le 5000000$（不可到达的城市对不计入在内）

D：无限制

0：所有 travel 事件中，$x=1$（即所有人的智商均为$1$）

1：无限制

【评分标准】

如果你的答案与标准答案的相对误差在$10^{-7}$以内或绝对误差在$10^{-7}$以内，则被判定为正确。

如果你的所有答案均为正确，则得满分，否则得0分。

请注意输出格式：每行输出一个答案，答案只能为 unreachable 或者一个实数（建议使用科学计数法表示）。每行的长度不得超过50。错误输出格式会被判定为0分。

【小R教你学数学】

若函数$f(x)$的$n$阶导数在$[a,b]$区间内连续，则对$f(x)$在$x_0(x_0\in[a,b])$处使用$n$次拉格朗日中值定理可以得到带拉格朗日余项的泰勒展开式

$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)(x-x_0)}{1!}+\frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+ \cdots +\frac{f^{(n-1)}(x_0)(x-x_0)^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{f^{(n)}(\xi)(x-x_0)^n}{n!},x\in[a,b]$

其中，当$x>x_0$时，$\xi\in[x_0,x]$。当$x<x_0$时，$\xi\in[x,x_0]$。

$f^{(n)}$表示函数$f$的$n$阶导数

$\color{#0066ff}{题解}$

根据题目显然我们要写一个LCT

然后维护这些函数的和

但是这些函数没有办法直接相加，于是良心出题人让我们进行泰勒展开

然后就成了一个多项式，就可以加了

据说在0.5处展开只用展开8项就行

蒟蒻在0处展开了11项。。。

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
LL in() {char ch; LL x = 0, f = 1;while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));return x * f;
}
const int maxn = 2e5 + 10;
const int inf = 0x7fffffff;
struct Tylar{double a[12];Tylar() { memset(a, 0, sizeof a); }Tylar(int tp, double aa, double bb) {if(tp == 1) {double now = 1, x = sin(bb), y = cos(bb);for(int i = 1; i <= 11; i++, x = -x, now *= aa, std::swap(x, y)) a[i] = now * x;}if(tp == 2) {bb = exp(bb);for(int i = 1; i <= 11; i++, bb *= aa) a[i] = bb;}if(tp == 3) {*this = Tylar();a[1] = bb, a[2] = aa;}}friend Tylar operator + (const Tylar &a,const Tylar &b) {Tylar c;for(int i = 1; i <= 11; i++) c.a[i] = a.a[i] + b.a[i];return c;}double getans(double x) {double ans = 0;for(int i = 11; i >= 1; i--) ans = a[i] + ans * x / i;return ans;}
};struct LCT {
protected:struct node {node *ch[2], *fa;int rev;Tylar val, tot;node(int rev = 0): rev(rev) { ch[0] = ch[1] = fa = NULL; }bool ntr() { return fa && (fa->ch[1] == this || fa->ch[0] == this); }void trn() { std::swap(ch[0], ch[1]), rev ^= 1; }bool isr() { return fa->ch[1] == this; }void upd(){tot = val;if(ch[0]) tot = tot + ch[0]->tot;if(ch[1]) tot = tot + ch[1]->tot;}void dwn() {if(!rev) return;if(ch[0]) ch[0]->trn();if(ch[1]) ch[1]->trn();rev = 0;}}pool[maxn];void rot(node* x) {node *y = x->fa, *z = y->fa;bool k = x->isr(); node *w = x->ch[!k];if(y->ntr()) z->ch[y->isr()] = x;(x->ch[!k] = y)->ch[k] = w;(y->fa = x)->fa = z;if(w) w->fa = y;y->upd(), x->upd();}void splay(node *o) {static node *st[maxn];int top;st[top = 1] = o;while(st[top]->ntr()) st[top + 1] = st[top]->fa, top++;while(top) st[top--]->dwn();while(o->ntr()) {if(o->fa->ntr()) rot(o->isr() ^ o->fa->isr()? o : o->fa);rot(o);}}void access(node *x) {for(node *y = NULL; x; x = (y = x)->fa)splay(x), x->ch[1] = y, x->upd();}void makeroot(node *x) { access(x), splay(x), x->trn(); }node *findroot(node *o){access(o), splay(o);while(o->dwn(), o->ch[0]) o = o->ch[0];return splay(o), o;}
public:void link(int l, int r) {node *x = pool + l, *y = pool + r;makeroot(x), x->fa = y;}void cut(int l, int r) { node *x = pool + l, *y = pool + r;makeroot(x), access(y), splay(y);y->ch[0] = x->fa = NULL;y->upd();}void change(int id, int tp, double a, double b) {node *o = pool + id;splay(o);o->val = Tylar(tp, a, b);o->upd();}Tylar query(int l, int r) { node *x = pool + l, *y = pool + r;makeroot(x), access(y), splay(y);return y->tot;}bool init(int l, int r) { return findroot(pool + l) == findroot(pool + r); }
}s;
char getch() {char ch;while(!isalpha(ch = getchar()));return ch;
}
int main(){int n = in(), m = in(); in();double a, b;for(int i = 0; i <= n - 1; i++) {int tp = in();scanf("%lf%lf", &a, &b);s.change(i, tp, a, b);}int c, d;while(m --> 0) {char ch = getch();if(ch == 'a') s.link(in(), in());if(ch == 'd') s.cut(in(), in());if(ch == 'm') {c = in(), d = in();scanf("%lf%lf", &a, &b);s.change(c, d, a, b);}if(ch == 't') {c = in(), d = in();scanf("%lf", &a);if(s.init(c, d)) printf("%.10f\n", s.query(c, d).getans(a));else puts("unreachable");}}return 0;
}

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