文章目录

1 背景
- 1.1 问题描述
- 1.2 相似性测度（Similarity Measure）
- 1.3 随机采样一致性（Random Sample Consensus，RANSAC）
- 1.4 Randomized Alignment
- 1.5 4PCS算法概述
2 4点一致性
- 2.1 概述
- 2.2 4点集的仿射不变性
- 2.3 在3D空间中提取一致的4点
3 4PCS算法
- 3.1 算法描述
- 3.2 实验结果
参考

1 背景

1.1 问题描述

给定任意初始位置的两个点集PPP和QQQ，找到一个最佳变换（通常是刚性变换），使得PPP、QQQ中距离小于δ\deltaδ的点数最多。

1.2 相似性测度（Similarity Measure）

在点云配准问题中，我们通常会用相似性测度来衡量两组点云之间的匹配程度，常见的相似性测度有均方误差（Root Mean Square Error（RMSE）、最大公共点集（Largest Common Pointset，LCP） 等。

4PCS算法中所使用的相似性测度即为LCP测度。由LCP测度的原理我们可以看出，4PCS算法最终并不一定能够得到一个非常精确的变换矩阵，因此它常被用作点云配准问题中粗配准（Coarse Registration）步骤中的方法，配合ICP等精配准（Fine Registration）算法共同实现精确的点云匹配。

1.3 随机采样一致性（Random Sample Consensus，RANSAC）

RANSAC是一种被广泛使用的通用性算法，用于对因噪声和异常值破坏的数据进行模型的鲁棒拟合。

基于RANSAC的点云匹配过程可以归纳为：

从点集PPP和QQQ中分别随机选取3个不同的点（方便起见，下文中我们把这3个不同的点称作“基底/base”）对作为基础的匹配点对；
计算所选取3组对应点对的变换矩阵TiT_iTi；
计算点集PPP和QQQ的LCP测度kik_iki，即点集PPP中的点与点集QQQ中的点距离在δ\deltaδ范围内点的个数；
如果kik_iki足够大，则直接接受TiT_iTi作为最佳的变换矩阵，否则重复以上步骤；
这个过程将被重复LLL次，并选择kik_iki最大时的变换矩阵TiT_iTi作为最终的结果。

1.4 Randomized Alignment

Randomized Alignment是Irani和Raghavan在1996年提出的RANSAC算法的一种变体，用于在相似性变换下解决2D对齐问题。其基本步骤为：

从点集PPP中随机选取一组基底；
计算该基底与QQQ中所有可能的基底得到的变换矩阵；
验证得到的变换矩阵，这也是随机的：首先，仅随机抽取PPP中固定数量的点进行验证，只有当该子集中大部分的点匹配上（即在点集QQQ中存在与其距离在δ\deltaδ内的点）时，才测试其余点；
与RANSAC中一样，为了达到一定的成功率，以上过程将被重复LLL次。

与基本的RANSAC不同的是，4PCS算法从PPP中随机选择基底，然后使用某种配准算法在QQQ中寻找对应的基底，下面将详细介绍4PCS算法。

1.5 4PCS算法概述

我们知道，3个不共线的点对即可计算空间变换矩阵，而作者认为，寻找特殊的4点作为基底会使问题变得更加容易。4PCS算法就是使用一组来自PPP的4个共面点作为基底BBB，并从QQQ中快速找到与BBB大致一致的所有4点基底的子集，即允许刚性变换将两个4点集对齐且距离在δ\deltaδ范围内。

2 4点一致性

2.1 概述

仿射变换遵循以下规则：给定3个共线的点{a,b,c}\{a,b,c\}{a,b,c}，它们之间的比例关系r=a−ba−cr=\frac{a-b}{a-c}r=a−ca−b是不变的。给定一组共面的4点集，在给定的点云数据中查找与其在距离约束（δ\deltaδ）下具有仿射变换关系的4点集的集合。

2.2 4点集的仿射不变性

定义非共线的共面4点X≡{a,b,c,d}X\equiv\{a,b,c,d\}X≡{a,b,c,d}，ababab和cdcdcd相交于点eee，则以下2个比率在仿射变换下是不变的：

r1=∣∣a−e∣∣∣∣a−b∣∣r2=∣∣c−e∣∣∣∣c−d∣∣r_1=\frac{||a-e||}{||a-b||} \\ r_2=\frac{||c-e||}{||c-d||} r1=∣∣a−b∣∣∣∣a−e∣∣r2=∣∣c−d∣∣∣∣c−e∣∣

给定含有nnn个点的点集QQQ，以及两个由点集PPP得到的仿射不变性比率r1r_1r1和r2r_2r2，对于QQQ中的每对点q1,q2∈Qq_1,q_2 \in Qq1,q2∈Q，可以计算两个中间点：

e1=q1+r1(q2−q1)e2=q1+r2(q2−q1)e_1 = q_1 + r_1 (q_2-q_1) \\ e_2 = q_1 + r_2 (q_2-q_1) \\ e1=q1+r1(q2−q1)e2=q1+r2(q2−q1)

任意两对中间点e1e2e_1 e_2e1e2在允许范围内重合的点，都可以被看作与PPP中基础点对可能的仿射对应点。

2.3 在3D空间中提取一致的4点

给定点集PPP中不共面的4点作为基底BBB，以及另外一个点集Q∈R3Q \in \mathbb{R}^3Q∈R3，我们的目标是从QQQ中找到所有在允许范围（δ\deltaδ）内与BBB一致的4点的集合。基本步骤为：

计算给定BBB的两个放射不变比率，即r1r_1r1和r2r_2r2；
利用2.2中描述的方法，从QQQ中查找所有通过放射变换能与BBB相匹配的点集；
通过距离约束（δ\deltaδ），过滤掉不符合要求的匹配（主要针对仿射变换中存在尺度缩放的一部分点集）；
利用最小二乘法，计算余下每对点与BBB的最佳变换。

事实上，对于大的点集，上述过程的计算量是相当大的。考虑到我们寻求的是刚性变换的解，对于一个基底B≡{a,b,c,d}B\equiv\{a,b,c,d\}B≡{a,b,c,d}，首先计算两点间的距离d1=∣∣a−b∣∣d_1=||a−b||d1=∣∣a−b∣∣，d2=∣∣c−d∣∣d_2=||c−d||d2=∣∣c−d∣∣，然后仅考虑点集QQQ中两点距离与d1d_1d1或d2d_2d2相差在一定范围内（δ\deltaδ）的点对。

3 4PCS算法

3.1 算法描述

给定两个点集PPP和QQQ，不确定性度量（δ>0\delta > 0δ>0），以及预估的两点集的重叠率fff，我们的目标是找到一个刚性变换，使PPP中的点到QQQ中的点距离小于δ\deltaδ的个数最多。

首先选择由4个共面点组成的基底B⊆PB\subseteq PB⊆P。实际上我们不一定能到找到完全共面的4个点，因此先随机选择3个点，再查找第4个点组成近似共面的基底。理论上来说，点之间的距离越远得到的匹配结果越精确，然而若距离过远，可能导致所选择的点不在两个点集的重叠部分，也就无法计算得到理想的匹配对。因此使用重叠率fff来估计这个最大距离（fff的默认值为1）；
得到基底BBB后，我们可以定义仿射不变比。从QQQ中查找所有与BBB在距离约束（δ\deltaδ）下的对应点对集合U≡{U1,U2,...,Us}U\equiv\{ U_1,U_2,...,U_s \}U≡{U1,U2,...,Us}。利用最小二乘法计算BBB与UiU_iUi的最佳变换TiT_iTi；
验证所得到的TiT_iTi的准确性，该过程以随机方式进行。计算PPP经过TiT_iTi变换后与QQQ的相似性测度（在δ\deltaδ约束下的最大公共点集）。为了提高效率，最近点的查找使用近似最近邻算法（Approximate Nearest Neighbor，ANN）。具体来说，首先从PPP中选择固定数量的点，计算这些点经过TiT_iTi变换后与QQQ中的点距离在δ\deltaδ内的点的个数，如果足够多的话则对余下的点也做这样的计算。匹配点数最多的变换将被作为本次匹配中最佳的变换矩阵TTT；
对于重复LLL次不同的基底BiB_iBi，均按照上述步骤找到最佳变换TiT_iTi，并最终得到总体的最佳变换矩阵ToptT_{opt}Topt作为最终结果。

3.2 实验结果

几组作者论文中给出的实验结果，所有结果都是经过ICP微调后的效果。

（1）不同重叠率

（2）不同噪声程度

其余的大家直接看论文吧。

参考

[1] https://sci-hub.tw/10.1145/1360612.1360684
[2] http://graphics.stanford.edu/~niloy/research/fpcs/fpcs_sig_08.html

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