群论：同构 与 同态 （群同构 与 群同态）
0、前言
群论中的同态和同构来描述两个群之间的相似关系。
从中文上粗略看，同构好像指相同结构，同态好像不好说。
先上结论，从相似关系的程度来看：相同＞同构＞同态，即同态要求比同构更宽松，同构是一种特殊的同态。
1、单射、满射、双射
在了解同构和同态前，必须知道这双射这个概念。
单射、满射、双射是三种映射的特殊情况。
所谓映射就是非空集合X的元素x到非空集合Y的元素y的映射关系。
单射（injection）：每一个x都有唯一的y与之对应；
满射（surjection）：每一个y都必有至少一个x与之对应；
双射（又叫一一对应，bijection）：每一个x都有y与之对应，每一个y都有x与之对应
一张图解释：
2. 同构（isomorphism）
同构的定义：
设有群
和群
，同构指G和H存在函数：
，使得对于
中所有
和
和
中所有
和
，有
，其中
，
。记作
。
解释：同构指G的元素和H的元素存在一个双射，而且G和H上的二元运算也可以完全对应。
同构的两个群有点像：你在4S店中买车，面对两辆几乎完全一样的车。
仅仅满足双射是不够的，元素还必须整合在一起以相同的方式工作。若只满足双射，有可能出现以下场景：两辆车的零部件相同，一辆车已装配完毕，随时可以开走，而另一辆车则还处于一堆零件状态。
举例：
群和群
是同构的。
H相当于复数旋转，复数旋转本质上就是旋转度数的模2pi加法。
clayey表如下：
根据clayey表颜色对应做映射，可知两群是同构的。
3. 同态 homomorphism
在前言中可知，同态相较于同构是更宽松的概念。
同构指‘相同的形式"，要求两集合间存在双射，而同态并无双射的要求。
给出同态的定义：
设有群
，
。
解释：可见，同态并没有要求f是一个双射，是一个单射或者满射，单射时称为单同态，满射时称为满同态。
举例
群和群
是同态的。
映射方法为：
所以，所以它们是同态的。
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