【Basic Algebra】群论学习整理

本文整理一些群论上的笔记，可能持续更新。（教材：Basic Algebra I by NATHAN JACOBSON）

1.9 同态( homomorphisms \text{homomorphisms} homomorphisms)

同态在群和幺半群上的定义类似于同构，事实上，同构是同态的一种。

定义1.6

如果 M M M和 M ′ M^\prime M′是幺半群，且 η \eta η是从 M M M到 M ′ M^\prime M′的映射，且满足两个条件：

1. η ( a b ) = η ( a ) η ( b ) , a , b ∈ M 1. \ \eta(ab)=\eta(a)\eta(b),\ \ \ \ \ a,b\in M 1. η(ab)=η(a)η(b), a,b∈M

2. η ( 1 ) = η ( 1 ′ ) 2. \ \eta(1)=\eta(1^\prime) 2. η(1)=η(1′)

那么称 η \eta η是一个同态映射。

值得注意的是，对于群上 G G G到 G ′ G^\prime G′的映射，只需要满足第一个条件即可是同态，因为第二个条件可以由第一个条件导出，因为 η ( 1 ) = η ( 1 2 ) = η ( 1 ) η ( 1 ) \eta(1)=\eta(1^2)=\eta(1)\eta(1) η(1)=η(12)=η(1)η(1)，然后因为 η ( 1 ) \eta(1) η(1)是 G ′ G^\prime G′中的元素，一定存在逆元 η ( 1 ) − 1 \eta(1)^{-1} η(1)−1，于是有 η ( 1 ) − 1 η ( 1 ) = η ( 1 ) − 1 η ( 1 ) η ( 1 ) \eta(1)^{-1}\eta(1)=\eta(1)^{-1}\eta(1)\eta(1) η(1)−1η(1)=η(1)−1η(1)η(1)，于是 1 ′ = η ( 1 ) 1^\prime = \eta(1) 1′=η(1)。

同样值得注意的是，在幺半群 M M M到 M ′ M^\prime M′上的映射，如果是满射，第二个条件同样是多余的，因为可以发现在满射条件下，满足条件一，那么 η ( 1 ) \eta(1) η(1)一定具有 M ′ M^\prime M′中单位元的性质。

同态的分类

根据 η \eta η是满射( surjective \text{surjective} surjective)、单射（或称为内射）( injective \text{injective} injective)或是双射 bijective \text{bijective} bijective，我们可以把同态对应分为：

满同态( epimorphism \text{epimorphism} epimorphism)，单同态( monomorphism \text{monomorphism} monomorphism)，同构（或双同态）( isomorphism \text{isomorphism} isomorphism)。

从 M M M到 M M M自己的映射如果满足同态，称为自同态( endomorphism \color{blue}{\text {endomorphism}} endomorphism)，如果这个同态还是同构的话，称为自同构( automorphism \color{red}{\text{automorphism}} automorphism)。

定理1.7

对于两个在幺半群上从 M M M到 M ′ M^\prime M′的同态映射 η \eta η 和 ζ \zeta ζ，如果对于 M M M的生成元集合 S S S，有 ∀ s ∈ S , η ( s ) = ζ ( s ) \forall s\in S,\eta(s)=\zeta(s) ∀s∈S,η(s)=ζ(s)，那么 η = ζ \eta = \zeta η=ζ。

证明思路比较简单，证明对 M M M上的每个元素 x x x都有 η ( x ) = ζ ( x ) \eta(x)=\zeta(x) η(x)=ζ(x)就行了。对于群的情况，同理可证。

一些容易证明的性质：同态具有传递性质。幺半群上的所有自同构组成一个对称群，称为Aut M，所有自同态组成一个自同态幺半群，称为End M。

同态基本定理

二级批注：

任何一个映射都可以根据映射值对原值定义一个等价关系。而一个同态映射，对应的是一个同余的等价关系，也就对应了原群的一个正规子群： ker ⁡ η \ker \eta kerη 是同态映射到 1 ′ 1^\prime 1′的所有原像的集合，也就是原群中的一个正规子群。这个子群的商群 ⟺ \iff ⟺等价类群。

根据 M M M到 M ′ M^\prime M′的同态 η \eta η，我们可以构建 M M M上的等价关系 E η E_\eta Eη（ ∀ a , b ∈ M , ( a , b ) ∈ E η ⟺ η ( a ) = η ( b ) \forall a,b\in M,(a,b)\in E_\eta\iff \eta(a) = \eta (b) ∀a,b∈M,(a,b)∈Eη⟺η(a)=η(b)），容易证明这个关系是同余关系，因此我们可以构建商幺半群 M ˉ = M / E η \bar{M}=M/E_\eta Mˉ=M/Eη。于是我们又有了从 M M M到 M ˉ \bar M Mˉ的自然映射 ν : ∀ x ∈ M , ν ( x ) = x ˉ \nu:\ \forall x\in M, \nu(x)=\bar x ν: ∀x∈M,ν(x)=xˉ 。并且建立 M ˉ \bar M Mˉ到 M ′ M^\prime M′的映射 η ˉ : ∀ x ∈ M , x ˉ ∈ M ˉ , η ˉ ( x ˉ ) = η ( x ) \bar\eta : \forall x\in M ,\bar x \in \bar M , \bar \eta (\bar x) = \eta(x) ηˉ:∀x∈M,xˉ∈Mˉ,ηˉ(xˉ)=η(x) ，在这些映射中， ν \nu ν是满的。注意，在幺半群上， η ˉ \bar \eta ηˉ 不一定是单的。

理解上，我们可以看作， M ˉ \bar M Mˉ是 M M M根据 η \eta η这个同态映射搞出来的等价类的幺半群，同态映射到相同元素上的元素被归到一个类别中去了，就好像一种状态的整合压缩。

另外，我们定义 η \eta η的核 ( kernel ) (\text{kernel}) (kernel)为 η − 1 ( 1 ′ ) \eta^{-1}(1^\prime) η−1(1′)，用 K K K或者 k e r η ker \ \eta ker η表示。可以理解为同态映射到 1 ′ 1^\prime 1′的元素的集合。

这个定理在群上，也是类推的。

如果 G ， G ′ G，G^\prime G，G′是群， η \eta η是 G G G到 G ′ G^\prime G′的满同构，记 K = k e r η K=ker \ \eta K=ker η，那么 K K K是 G G G的正规子群，有自然映射 ν ( x ) = x K = K x , x ∈ G \nu(x)=xK=Kx,\ \ x\in G ν(x)=xK=Kx, x∈G，那么有同构映射 η ˉ : η ˉ ( x K ) = η ( x ) \bar \eta : \ \ \bar\eta (xK) = \eta (x) ηˉ: ηˉ(xK)=η(x)。

可以证明，在群上的时候，有着更好的性质，如果 η \eta η 是满的，则 η ˉ \bar \eta ηˉ 一定是双射。

书中的三角形：对于满同态， G / ker ⁡ η G/\ker \eta G/kerη到$G^\prime $形成自然而然的同构。

1.10 两个同构基本定理

第一同构定定理：

K K K是群 G G G的正规子群， H H H是包含 K K K的群并且 H H H是 G G G的子群，那么有 H ˉ = H / K \bar H=H/K Hˉ=H/K是 G ˉ = G / K \bar G=G/K Gˉ=G/K的子群。并且在给定 G , K G,K G,K的情况下，对于每一个这样的 H H H，可以建立映射 H → H ˉ H\to \bar H H→Hˉ，这是一个双射。

并且有： H H H是 G G G的正规子群 ⟺ \iff ⟺ H ˉ \bar H Hˉ是 G ˉ \bar G Gˉ的正规子群。

并且 G / H G/H G/H同构于 G ˉ / H ˉ = G / K H / K \bar G /\bar H=\frac{G/K}{H/K} Gˉ/Hˉ=H/KG/K

这样一个定理，直白来说，就是：正规子群 K ⊴ G K\trianglelefteq G K⊴G，考虑这样的每一个 H H H： K ⊴ H ≤ G K\trianglelefteq H\le G K⊴H≤G， H H H和 H / K H/K H/K建立映射，那么当 H ⊴ G H \trianglelefteq G H⊴G的时候， G / H G/H G/H同构于 G ˉ / H ˉ = G / K H / K \bar G /\bar H=\frac{G/K}{H/K} Gˉ/Hˉ=H/KG/K。

证明思路：

先证明 H ˉ ≤ G ˉ \bar H \le \bar G Hˉ≤Gˉ：首先 ∀ h ˉ ∈ H ˉ \forall \bar h \in \bar H ∀hˉ∈Hˉ有 h ˉ = h K \bar h = hK hˉ=hK，根据商群的运算规则 ( a K ) ( b K ) = a b K (aK)(bK)=abK (aK)(bK)=abK，可以很容易的根据子群的定义去证明。 H → H ˉ H\to \bar H H→Hˉ的双射证明，先证单，再证满。正规子群的等价性易证，下面考虑同构的证明：

G / H G/H G/H中的元素形如 a H aH aH，我们自然而然把它映射到 G ˉ / H ˉ \bar G/\bar H Gˉ/Hˉ中的 a ˉ H ˉ = ( a K ) ( H K ) = ( a K ) ( H ) \bar a\bar H=(aK)(HK)=(aK)(H) aˉHˉ=(aK)(HK)=(aK)(H)。也就是说我们需要证明 a H → a ˉ H ˉ aH \to \bar a \bar H aH→aˉHˉ是双射。我们考虑一个同态 η : ∀ g ∈ G , η ( g ) = g ˉ H ˉ \eta :\forall g\in G,\eta(g)= \bar g \bar H η:∀g∈G,η(g)=gˉHˉ，这显然是一个满同态，而且这个同态的 ker ⁡ η = H ˉ = H K = H \ker \eta = \bar H =HK=H kerη=Hˉ=HK=H，所以根据同态基本定理， g H → g ˉ H ˉ gH \to \bar g \bar H gH→gˉHˉ是一个同构。

第二同构定理：

K K K是群 G G G的正规子群， H H H是 G G G的子群，那么有 H K HK HK是G的子群（另外，显然有 H K HK HK是包含 K K K的）。

并且 H ∩ K H\cap K H∩K是 H H H的正规子群。

并且映射： h K → h ( K ∩ H ) , h ∈ H hK\to h(K\cap H),\ h\in H hK→h(K∩H), h∈H是从 H K / K HK/K HK/K到 H / ( K ∩ H ) H/(K\cap H) H/(K∩H)的同构。

证明思路：

先证明 H K ≤ G HK \le G HK≤G：也就是证明 h k , k ∈ K , h ∈ H hk,k\in K,h\in H hk,k∈K,h∈H的运算满足子群的性质，封闭且存在逆元，利用 K K K正规子群的性质，就能很容易证明。（书上有个很精妙的封闭性证明，先利用 K K K的正规证明 H K = K H HK=KH HK=KH，然后说明 ( H K ) 2 = H K H K = H H K K = H K (HK)^2=HKHK=HHKK=HK (HK)2=HKHK=HHKK=HK）

再证明 H ∩ K H\cap K H∩K是 H H H的正规子群：我们知道一个群同态的 ker ⁡ \ker ker 是原群的一个正规子群。因此考虑从 H H H到 H K / K HK/K HK/K的一个同态 η ( h ) = h k K = h K \eta(h) = hkK =hK η(h)=hkK=hK ，分析 ker ⁡ η \ker \eta kerη ， ∀ h ∈ ker ⁡ η , 满足 h k K = K \forall h\in \ker \eta,满足hkK=K ∀h∈kerη,满足hkK=K，所以 h K = K , h ∈ K hK=K,h\in K hK=K,h∈K ，而 h ∈ H h\in H h∈H，所以 h ∈ H ∩ K h\in H \cap K h∈H∩K ，反之同理，易证 ker ⁡ η = H ∩ K \ker \eta = H\cap K kerη=H∩K 。那么自然 H ∩ K H\cap K H∩K 是 H H H 的正规子群。

上面这个同态的定义非常好，因为根据同态基本定理，我们由 η \eta η 是满的可以直接得到 H / ( H ∩ K ) H/(H\cap K) H/(H∩K) 到 H K / K HK/K HK/K 存在双射。

1.12 群在集合上的作用

作用及其等价

群 G G G在集合 S S S上的作用， ∀ g ∈ G \forall g\in G ∀g∈G 都有 g → f g \to f g→f ， f ∈ Sys S f \in \text{Sys}\ S f∈Sys S 。也就是把群元素映射到了集合 S S S 的置换群上，并且这个映射是同态，且有群单位元映射到单位置换上。作用通常用上述的映射表示，用 T T T表示。

忠实的作用： 如果 G G G 上不同的元素对应的置换也不同，则是忠实的作用，换句话说，能映射到单位置换的 g ∈ G g\in G g∈G 仅有单位元 g = 1 ∈ G g=1\in G g=1∈G 。

群 G G G 分别到集合 S S S 和 S ′ S^\prime S′ 上的两个作用 T T T 和 T ′ T^\prime T′等价，当且仅当
∃ 双射 α : S → S ′ , ∀ g ∈ G , ∀ x ∈ S , 有 T ′ ( g ) ( α ( x ) ) = α ( T ( g ) ( x ) ) \exist 双射\alpha:S\to S^\prime, \ \forall g\in G,\ \forall x \in S,\ 有 \ T^\prime(g)(\alpha(x)) = \alpha(T(g)(x)) ∃双射α:S→S′, ∀g∈G, ∀x∈S, 有 T′(g)(α(x))=α(T(g)(x))
也就是说，从 S S S 里的元素出发，先射到 S ′ S^\prime S′ 再作用 T ′ T^\prime T′ ，和先作用 T T T 再映射到 S ′ S^\prime S′ 结果一致。

也可以写作： T ′ ( g ) ⋅ α = α ⋅ T ( g ) T^\prime (g)\cdot \alpha = \alpha \cdot T(g) T′(g)⋅α=α⋅T(g)

在表达时，通常为了简便，群元素 g g g 对集合某个元素 x x x 的作用结果直接用 g ⋅ x g\cdot x g⋅x 表示，实际上完整表达应该是 T ( g ) ( x ) T(g)(x) T(g)(x)

作用的轨道

集合 G x Gx Gx 表示的是 { g ⋅ x ∣ g ∈ G } \{g\cdot x|g\in G\} {g⋅x∣g∈G} ，也就是 G G G 作用下 x ( ∈ S ) x(\in S) x(∈S) 所在的轨道。轨道中的元素在 G G G 的作用下都得到这个轨道，利用群的性质，这是易证的。

可迁的作用： 如果 G G G 对 S S S 的作用，只有一个轨道，那么称这是可迁的作用。

稳定化子：

稳定化子的定义是基于 S S S 中的某一特定元素来说的。
∀ x ∈ S , stab x = { g ∣ g ∈ G , g ⋅ x = x } \forall x\in S,\ \text{stab} \ x = \{g\ |\ g\in G \ ,\ g\cdot x = x \} ∀x∈S, stab x={g ∣ g∈G , g⋅x=x}

稳定化子一定是 G G G 的一个子群。

定理： 取 x ∈ S x\in S x∈S ，令 H = stab x H = \text{stab} \ x H=stab x ，那么 G G G 在 S S S 上的作用等价于 G G G 在 G / H G/H G/H 上的左乘作用。

要证明这个，首先想到构建 G / H G/H G/H 到 S S S 的双射 α : α ( g H ) = g H ⋅ x = g ⋅ x \alpha: \alpha (gH) = gH \cdot x =g \cdot x α:α(gH)=gH⋅x=g⋅x 这里我们可以看出来，在 G / H G/H G/H 上每一个陪集的所有元素作用在 x x x 上的结果都是一样的。

现在利用 α \alpha α 来证明同构，

即证：
∀ g ∈ G , ∀ k H ∈ G / H , α ( g ⋅ k H ) = g ⋅ α ( k H ) \forall g\in G,\ \forall kH\in G/H,\ \alpha (g\cdot kH) = g\cdot \alpha(kH) ∀g∈G, ∀kH∈G/H, α(g⋅kH)=g⋅α(kH)
显然：
α ( g ⋅ k H ) = α ( ( g k ) H ) = ( g k ) ⋅ x = g ⋅ k ⋅ x = g ⋅ α ( k H ) \alpha (g\cdot kH) = \alpha ((gk)H) = (gk) \cdot x = g\cdot k\cdot x =g\cdot \alpha(kH) α(g⋅kH)=α((gk)H)=(gk)⋅x=g⋅k⋅x=g⋅α(kH)
得证。

由此我们知道了一个重要的结论： 当作用可迁的时候，上面的 α \alpha α 是满射，而 G / H G/H G/H 上的每个陪集 g H gH gH 映射到 S S S 上的一个元素 g ⋅ x g \cdot x g⋅x。所以 S S S 上的元素个数和陪集个数相等，于是得到 ∣ S ∣ = ∣ G ∣ ∣ stab x ∣ |S| = \frac{|G|}{|\text{stab} \ x|} ∣S∣=∣stab x∣∣G∣ 。这一结论通常用来研究集合 S S S 计数的相关问题。

而且我们可以发现，同轨道上的 x , y x,y x,y ，他们的稳定化子同基，事实上他们之间可以构建映射，若 y = g ⋅ x y = g\cdot x y=g⋅x ，那么 stab y = g ⋅ stab x ⋅ g − 1 \text{stab}\ y = g \cdot \text{stab}\ x \cdot g^{-1} stab y=g⋅stab x⋅g−1。

那么当 G G G 在 S S S 上的作用不可迁的时候，我们把 S S S 划分成多个轨道， G G G 在每个轨道上的作用是可迁的，我们得到了更加一般化的性质：

∣ S ∣ = ∑ i ∣ O i ∣ = ∑ i [ G : stab x i ] |S| =\sum\limits_{i}^{}|O_i|= \sum\limits_{i}^{}[G:\text{stab}\ x_i] ∣S∣=i∑∣Oi∣=i∑[G:stab xi]

群上的共轭作用

这个结论中 S S S 只是一个集合，进一步当 S S S 就是群 G G G 本身的时候，并且把作用定义为共轭作用 ( g ⋅ x = g x g − 1 ) (g \cdot x=gxg^{-1} ) (g⋅x=gxg−1)。我们能够得到一些更好的性质。

首先值得提出的是，在共轭作用下， ∀ x ∈ G \forall x\in G ∀x∈G ， stab x = c ( x ) \text{stab}\ x =c(x) stab x=c(x) ，其中 c ( x ) c(x) c(x) 表示的是在 G G G 中 x x x 的中心化子，也就是 { g ∣ g ∈ G , g x = x g } \{g\ |\ g\in G \ , \ gx=xg\} {g ∣ g∈G , gx=xg} 。

那么直接迁移上面的性质，得到群的元素个数定理：
∣ G ∣ = ∑ i ∣ O i ∣ = ∑ i [ G : c ( x i ) ] |G| =\sum\limits_{i}^{}|O_i|= \sum\limits_{i}^{}[G:c(x_i)] ∣G∣=i∑∣Oi∣=i∑[G:c(xi)]
进一步我们知道群 G G G 的中心 C C C 具有性质： ∀ x ∈ C , ∀ g ∈ G , g x g − 1 = x \forall x\in C, \forall g\in G,gxg^{-1}=x ∀x∈C,∀g∈G,gxg−1=x ，也就是说 c ( x ) = G c(x)=G c(x)=G ， C C C 上的每个元素独自处于 G G G 自己共轭作用的一个轨道上， [ G : c ( x ) ] = 1 [G:c(x)]=1 [G:c(x)]=1，不妨把它们单独列出来，得到：
∣ G ∣ = ∣ C ∣ + ∑ i [ G : c ( y i ) ] , ( c ( y i ) ≠ G ) |G| = |C| + \sum\limits_{i}^{}[G:c(y_i)] ,\ \ \ (c(y_i) \ne G) ∣G∣=∣C∣+i∑[G:c(yi)], (c(yi)=G)
这个式子在群元素计数、讨论子群等问题上非常有用。

TODO: 本原作用的相关内容

Sylow定理

引言部分

对于循环群 G G G 我们知道，对任何一个 ∣ G ∣ |G| ∣G∣ 的因子 k k k ，都存在 G G G 的子群 H H H，满足 ∣ H ∣ = k |H|=k ∣H∣=k。

但是对于一般群并没有这个结论，其中一个经典反例就是交错群 A 4 A_4 A4 ， ∣ A 4 ∣ = 12 |A_4|=12 ∣A4∣=12 但是没有 6 6 6 阶子群。

那么对于一般群来说，哪些阶的子群是一定存在的呢？这就和 Sylow \text {Sylow} Sylow 定理有关了。

在此之前我们先证明一个 Cauthy \text {Cauthy} Cauthy 定理。

Cauchy 定理

在阿贝尔有限群 G G G 中，如果质数 p p p 是 ∣ G ∣ |G| ∣G∣ 的因子，那么一定存在 a ∈ G , ∣ < a > ∣ = p a\in G, \ |{\small <}a{\small >}|=p a∈G, ∣<a>∣=p

换句话说，就是有限阿贝尔群对每一个质因子都包含至少一个循环子群，其阶数等于这个质因子。

证明：

采用数学归纳法，对 ∣ G ∣ |G| ∣G∣ 从小到大归纳。

考虑取 a ≠ 1 , a ∈ G a\ne 1,a\in G a=1,a∈G，那么一定有 ∣ < a > ∣ > 1 |{\small <}a{\small >}| > 1 ∣<a>∣>1，且是 ∣ G ∣ |G| ∣G∣ 的因子。

如果 p p p 整除 ∣ < a > ∣ |{\small <}a{\small >}| ∣<a>∣ 的话，令 ∣ < a > ∣ = s = r p |{\small <}a{\small >}|=s=rp ∣<a>∣=s=rp ，那么 a r p = 1 a^{rp}=1 arp=1， ( a r ) p = 1 (a^r)^p =1 (ar)p=1，那么 < a r > {\small <}a^r{\small >} <ar> 就是 p p p 阶循环群。

如果 p p p 不整除 ∣ < a > ∣ |{\small <}a{\small >}| ∣<a>∣ 的话，因为 G G G 是阿贝尔群，因此 < a > {\small <}a{\small >} <a> 是 G G G 的正规子群。考虑商群 G / < a > G/{\small <}a{\small >} G/<a> ，因为这个商群的阶数小于 ∣ G ∣ |G| ∣G∣ 且也是被 p p p 整除的，由归纳假设，存在 b < a > ∈ G / < a > b{\small <}a{\small >} \in G/{\small <}a{\small >} b<a>∈G/<a> ， b < a > b{\small <}a{\small >} b<a> 的阶是 p p p ，也就是说 ∃ b ∈ G \exist b\in G ∃b∈G ， b p < a > = < a > b^p {\small <}a{\small >} = {\small <}a{\small >} bp<a>=<a>，注意，这并不意味着 b p = 1 b^p =1 bp=1 ，这只能说明 b p ∈ < a > b^p \in {\small <}a{\small >} bp∈<a> ，然而这足以说明 ∃ r ∈ Z ， b r p = 1 \exist r \in \Z ，b^{rp} = 1 ∃r∈Z，brp=1 ，所以我们有 < b r > {\small <}b^r{\small >} <br> 是 p p p 阶循环群。

证毕。

补充一些显然的性质：

质数阶的群一定是循环群。

阿贝尔单群 ⟺ \iff ⟺ 质数阶群。（单群的定义是没有非平凡正规子群的群）

Sylow第一定理

假设 ∣ G ∣ |G| ∣G∣有限，且质数 p p p 满足 p k ( k ≥ 0 ) p^k(k\ge 0) pk(k≥0) 是 ∣ G ∣ |G| ∣G∣ 的因子，那么存在群 H ≤ G H \leq G H≤G 且 ∣ H ∣ = p k |H| = p^k ∣H∣=pk。

还是用归纳法，对 ∣ G ∣ |G| ∣G∣ 从小到大做归纳。

考虑 G G G 到自己的共轭作用，我们知道：
∣ G ∣ = ∣ C ∣ + ∑ i [ G : c ( y i ) ] , ( c ( y i ) ≠ G ) |G| = |C| + \sum\limits_{i}^{}[G:c(y_i)] ,\ \ \ (c(y_i) \ne G) ∣G∣=∣C∣+i∑[G:c(yi)], (c(yi)=G)
当 ∣ C ∣ |C| ∣C∣ 不是 p p p 的倍数的时候，必然存在 j j j ，使得 [ G : c ( y j ) ] = ∣ G ∣ ∣ c ( y j ) ∣ [G:c(y_j)]=\frac{|G|}{|c(y_j)|} [G:c(yj)]=∣c(yj)∣∣G∣也不是 p p p 的倍数。那么 ∣ c ( y j ) ∣ |c(y_j)| ∣c(yj)∣ 就一定是 p k p^k pk 的倍数，而且因为 c ( y j ) ≠ G c(y_j)\ne G c(yj)=G ，有 c ( y j ) ≤ G c(y_j) \le G c(yj)≤G ，那么根据归纳假设，存在 H ≤ c ( y j ) ≤ G H\le c(y_j) \le G H≤c(yj)≤G ，满足 ∣ H ∣ = p k |H| = p^k ∣H∣=pk。

当 ∣ C ∣ |C| ∣C∣ 是 p p p 的倍数的时候，因为 C C C 本身是一个有限阿贝尔群，因此根据 Cauchy \text{Cauchy} Cauchy 定理， ∃ c ∈ C \exist c\in C ∃c∈C， ∣ < c > ∣ = p |{\small <}c{\small >}|=p ∣<c>∣=p，而且显然 < c > {\small <}c{\small >} <c> 是 G G G 的一个正规子群。考虑 G / < c > G/{\small <}c{\small >} G/<c> ，这个商群的阶小于 ∣ G ∣ |G| ∣G∣ 能被 p k − 1 p^{k-1} pk−1 整除，由归纳假设，存在一个子群 K ≤ G / < c > K \leq G/{\small <}c{\small >} K≤G/<c> ， ∣ K ∣ = p k − 1 |K|=p^{k-1} ∣K∣=pk−1。由同构第一基本定理我们知道，因为 < c > {\small <}c{\small >} <c> 正规， G / < c > G/{\small <}c{\small >} G/<c> 中的子群和包含 < c > {\small <}c{\small >} <c> 的 G G G 的子群形成双射，也就是说 ∃ H , < c > ⊴ H ≤ G \exist H, \ {\small <}c{\small >} \trianglelefteq H \leq G ∃H, <c>⊴H≤G ，满足 K = H / < c > K = H/{\small <}c{\small >} K=H/<c>，那么 ∣ H ∣ = ∣ K ∣ ∣ < c > ∣ = p k |H| = |K||{\small <}c{\small >}|=p^k ∣H∣=∣K∣∣<c>∣=pk 。

证毕。

由这个定理，我们可以定义 Sylow p- \text{Sylow p-} Sylow p-子群的概念，那就是 G G G 的 p k p^k pk 阶子群， k k k 是 ∣ G ∣ |G| ∣G∣ 的质因数分解中质数 p p p 的幂次。

Sylow 第二定理

一些前置内容

考虑群 G G G 对其子群集合的共轭作用。 ∀ g ∈ G , ∀ H ≤ G , g ⋅ H = g H g − 1 \forall g\in G ,\forall H \le G,\ \ g\cdot H = gHg^{-1} ∀g∈G,∀H≤G, g⋅H=gHg−1。显然， g H g − 1 gHg^{-1} gHg−1 也是 G G G 的一个子群。

在这样的作用之下有哪些值得探讨的东西呢？考虑某个 H H H 的稳定化子：
stab H = { g ∣ g H g − 1 = H } = { g ∣ g H = H g } \text{stab} \ H = \{g\ | \ gHg^{-1} = H\}=\{g\ | \ gH = Hg\} stab H={g ∣ gHg−1=H}={g ∣ gH=Hg}
我们把 stab H \text{stab} \ H stab H 称为 N ( H ) N(H) N(H) ，即 H H H 的正规化子，有 H ⊴ N ( H ) ≤ G H\trianglelefteq N(H) \leq G H⊴N(H)≤G ，并且在 G G G的所有子群中， N ( H ) N(H) N(H) 是以 H H H 为正规子群的一个最大群。

引理

P P P 是群 G G G 的一个 Sylow p- \text{Sylow p-} Sylow p-子群，如果 H ≤ N ( P ) H \le N(P) H≤N(P) ，且 ∣ H ∣ = p j |H|=p^j ∣H∣=pj 那么必有 H ≤ P H \le P H≤P。

这个引理在后面非常重要。这个引理说明了在 N ( P ) N(P) N(P) 之内所有的 p p p 的幂次阶的子群都被 P P P 包含了，事实上，也就说明了在 N ( P ) N(P) N(P) 之内，有且仅有一个 Sylow p- \text{Sylow p-} Sylow p-子群。

证明：

因为 P P P 是 N ( P ) N(P) N(P) 的一个正规子群， H H H 是 N ( P ) N(P) N(P) 的一个子群，那么利用同构第二定理，可以知道:
H P / P ≅ H / ( H ∩ P ) HP/P \cong H/(H \cap P) HP/P≅H/(H∩P)
也就是说，商群 H P / P HP/P HP/P 的阶等于商群 H / ( H ∩ P ) H/(H\cap P) H/(H∩P) 的阶，因为 ∣ H ∣ = p j |H| = p^j ∣H∣=pj ，所以后者的阶必然也是 p p p 的一个整数幂次，不妨令 ∣ H / ( H ∩ P ) ∣ = p i |H/(H\cap P)| = p^i ∣H/(H∩P)∣=pi，那么也就有 ∣ H P / P ∣ = ∣ H P ∣ ∣ P ∣ = p i |HP/P|=\frac{|HP|}{|P|}=p^i ∣HP/P∣=∣P∣∣HP∣=pi 。

那么就有 ∣ H P ∣ = p i ∣ P ∣ |HP|=p^i |P| ∣HP∣=pi∣P∣，因为 P P P 是 G G G 的一个 Sylow p- \text{Sylow p-} Sylow p-子群，不可能存在某个子群的阶的 p p p 的幂次超过 P P P 的。所以 i = 0 i=0 i=0，所以 H P = P HP = P HP=P ， H ≤ P H\le P H≤P。

证毕。

Sylow 第二定理

（1）有限群的任何两个 Sylow p- \text{Sylow p-} Sylow p-子群是共轭的，也就是说， ∀ P 1 , P 2 \forall P_1, P_2 ∀P1,P2 是 G G G 的 Sylow p- \text{Sylow p-} Sylow p-子群，那么 ∃ a ∈ G , P 2 = a P 1 a − 1 \exist a\in G, \ P_2 =aP_1 a^{-1} ∃a∈G, P2=aP1a−1。

（2） P P P 是 G G G 的 Sylow p- \text{Sylow p-} Sylow p-子群， G G G 的 Sylow p- \text{Sylow p-} Sylow p-子群的个数是 [ G : P ] [G:P] [G:P] 的因子，且该个数 ≡ 1 ( m o d p ) \equiv 1 \pmod p ≡1(modp) 。

（3） G G G 的任何一个 p j p^j pj 阶的子群都被包含在 G G G 的一个 Sylow p- \text{Sylow p-} Sylow p-子群中。

证明：

首先我们考虑所有的 G G G 的 Sylow p- \text{Sylow p-} Sylow p-子群组成的集合 Π \Pi Π ，考虑 G G G 在 Π \Pi Π 上的共轭作用，容易知道这是一个作用因为 Sylow p- \text{Sylow p-} Sylow p-子群共轭之后得到的子群的阶还是 p m p^m pm 。

现在我们考虑该作用下的任意一个轨道 Σ \Sigma Σ ，并且考虑该轨道中的任意一个 Sylow p- \text{Sylow p-} Sylow p-子群 P P P （也就是说，这个轨道可以看作 Σ = G ⋅ P \Sigma=G\cdot P Σ=G⋅P ）。

然后，把这个轨道 Σ \Sigma Σ 看成一个集合，让群 P P P 作用在 Σ \Sigma Σ 上（书上把这个叫做把 G G G 在 Σ \Sigma Σ 上的作用限制在群 P P P 上），考虑这个作用下的轨道。我们称这些轨道为 P − P- P−轨道。

接着，我们说明所有的 P − P- P−轨道中有且仅有一个基数为 1 1 1 的轨道，而且这个轨道里的唯一元素就是 P P P 。 显然， P P P 对自己的共轭作用之后仅能得到 P P P ，因此轨道 { P } \{P\} {P} 的存在性得证。然后证明唯一性，假设存在 P ′ ∈ Σ P^\prime \in \Sigma P′∈Σ ，且在 P P P 的作用下 P ′ P^\prime P′ 自己形成一个轨道。那么有 P ⋅ P ′ = P P \cdot P^\prime = P P⋅P′=P ，即 ∀ a ∈ P , a P ′ a − 1 = P ′ \forall a\in P,\ aP^\prime a^{-1} = P^\prime ∀a∈P, aP′a−1=P′，有 a ∈ N ( P ′ ) a\in N(P^\prime) a∈N(P′)（注意，这里以及之后的 N ( P ′ ) N(P^\prime) N(P′) 均表示子群在 G G G 作用下的的正规化子），所以有 P ≤ N ( P ′ ) P \le N(P^\prime) P≤N(P′) ，由上面的引理知道，这说明 P = P ′ P=P^\prime P=P′，于是唯一性得证。

利用这个性质，我们反观我们考虑的这个 Σ \Sigma Σ 在计数方面的性质：

由群在轨道上可迁作用的性质可以知道， P P P 作用在集合 Σ \Sigma Σ 上，得到的所有轨道，这些轨道的基都是 p p p 的整数次幂（ ∣ O i ∣ = ∣ P ∣ ∣ stab x i ∣ |O_i| = \frac{|P|}{|\text {stab}\ x_i|} ∣Oi∣=∣stab xi∣∣P∣）。而又只有一个轨道的基是 1 1 1 ，所以说， ∣ Σ ∣ ≡ 1 ( m o d p ) |\Sigma| \equiv 1 \pmod p ∣Σ∣≡1(modp)。

接下来我们说明， G G G 作用在 Π \Pi Π 上有且仅有一个轨道，也就是说 Σ = Π \Sigma= \Pi Σ=Π。

假设不止一个轨道，我们先取一个轨道 Σ \Sigma Σ ，然后取 P ∈ Π , P ∉ Σ P\in \Pi ,\ P\notin \Sigma P∈Π, P∈/Σ，然后把 Σ \Sigma Σ 看成一个集合，考虑群 P P P 作用在 Σ \Sigma Σ 上形成的这些 P − P- P−轨道。可以与上面同理说明，这种情况下的 P − P- P−轨道中没有基为 1 1 1 的了，因为如果有，我们可以说明这个轨道中的元素等于 P P P ，但是 P ∉ Σ P\notin \Sigma P∈/Σ ，产生矛盾。既然没有基为 1 1 1 的轨道，其余轨道的基又都是 p p p 的正整数次幂，那么可以得出 ∣ Σ ∣ ≡ 0 ( m o d p ) |\Sigma| \equiv 0 \pmod p ∣Σ∣≡0(modp) ，这与上面那个已经得证的性质矛盾。

因此， G G G 对 Π \Pi Π 作用后，只有一个轨道。

好了，根据上面已经证明出的性质，我们可以快速证明Sylow第二定理了：

先证（1）

因为 G G G 对 Π \Pi Π 的共轭作用只有一个轨道，因此 ∀ P 1 , P 2 ∈ Π , G ⋅ P 1 = G ⋅ P 2 \forall P_1, P_2\in \Pi,\ G\cdot P_1 = G\cdot P_2 ∀P1,P2∈Π, G⋅P1=G⋅P2 ，那么 ∃ a ∈ G , P 2 = a ⋅ P 1 = a P 1 a − 1 \exist a\in G, \ P_2 =a\cdot P_1 =aP_1 a^{-1} ∃a∈G, P2=a⋅P1=aP1a−1。

再证（2）

因为 G G G 对 Π \Pi Π 的共轭作用只有一个轨道，所以 ∣ Π ∣ = [ G : N ( P ) ] |\Pi| = [G:N(P)] ∣Π∣=[G:N(P)]，而：
[ G : N ( P ) ] [ N ( P ) : P ] = [ G : P ] [G:N(P)][N(P):P]=[G:P] [G:N(P)][N(P):P]=[G:P]
所以， ∣ Π ∣ |\Pi| ∣Π∣ 是 [ G : P ] [G:P] [G:P] 的因子。

最后证(3)

对任意一个 H ≤ G , ∣ H ∣ = p k H \le G,\ |H| = p^k H≤G, ∣H∣=pk ，考虑 H H H 对 Π \Pi Π 的作用，显然得到的这些 H − H- H−轨道们的基都是 p p p 的整数次幂。而我们又知道 ∣ Π ∣ ≡ 1 ( m o d p ) |\Pi| \equiv 1\pmod p ∣Π∣≡1(modp)，所以必然有单元素轨道 { P } \{P\} {P}，因为 H ⋅ P = P H\cdot P =P H⋅P=P，所以 H ∈ N ( P ) H \in N(P) H∈N(P) ，所以根据上面预先证明的引理有 H ≤ P H\le P H≤P，证毕。

小结

一点感想：

群的作用从广义的定义来说比较简单，但当它落在几个实际意义上之后衍生出了很多性质。

考虑群到自己元素的共轭作用，这时稳定化子变成了中心化子。

考虑群到子群的共轭作用，这时稳定化子变成了正规化子。再结合同构基本定理，能够证出Sylow定理。

一些结论的补充

若群 G G G 中， H ≤ G H\le G H≤G ， K ≤ G K\le G K≤G ，则有 ∣ H K ∣ = ∣ H ∣ ∣ K ∣ ∣ H ∩ K ∣ |HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap K|} ∣HK∣=∣H∩K∣∣H∣∣K∣ 。可以用轨道稳定化子定理，考虑 H H H 在 H K / K HK/K HK/K 陪集上的作用，来证明。
处理小阶群的技巧