[问题2015A01]  证明: 第三类分块初等变换是若干个第三类初等变换的复合. 特别地, 第三类分块初等变换不改变行列式的值.

[问题2015A02]  设 $n\,(n\geq 2)$ 阶方阵 $A=(a_{ij}(x))$, 其中每个元素 $a_{ij}(x)$ 都是关于未定元 $x$ 的多项式. 若 $k$ 是正整数, 满足 $x^k$ 整除 $A$ 的所有代数余子式 $A_{ij}$, 证明: $x^{k+1}$ 整除 $A$ 的行列式 $|A|$.

提示  考虑 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 的行列式. 另外, 本题还可以推广为: 若 $k$ 是正整数, $p(x)$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的不可约多项式, 满足 $p(x)^k$ 整除 $A$ 的所有代数余子式 $A_{ij}$, 则 $p(x)^{k+1}$ 整除 $|A|$.

[问题2015A03]  设 $M=\begin{pmatrix} a_1^2 & a_1a_2+1 & \cdots & a_1a_n+1 \\ a_2a_1+1 & a_2^2 & \cdots & a_2a_n+1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_na_1+1 & a_na_2+1 & \cdots & a_n^2 \end{pmatrix}$, 证明: $r(M)\geq n-1$.

提示  参考复旦高代教材第102页的例2.6.5，可用秩的降阶公式来做.

[问题2015A04]  设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵, 试用秩的子式判别法和 Cauchy-Binet 公式证明: $r(A'A)=r(AA')=r(A)$.

提示  这是复旦高代教材第179页的复习题41, 复旦高代白皮书第151页的例3.72, 那里用的是线性方程组的求解理论来做的.

[问题2015A05]  设 $A,B$ 都是 $n$ 阶方阵, 约定 $A^0=I_n$.

(1) 若 $k$ 是非负整数, 使得 $r(A^k)=r(A^{k+1})$, 证明: 对任意的 $i\geq k$, $r(A^i)=r(A^k)$.

(2) 记 $s(A)=\min\{k\in\mathbb{N}\mid r(A^k)=r(A^{k+1})\}$, 称为 $A$ 的稳定指数, 意味着从 $i\geq s(A)$ 开始, $A^i$ 的秩保持稳定了, 这个最终稳定的秩记为 $r_{\infty}(A)$, 即 $r_{\infty}(A)=r(A^i)$, $\forall\,i\geq s(A)$. 证明: $s(A)$ 必存在, 并且是 $0$ 和 $n$ 之间的某个自然数.

(3) 证明: $r_{\infty}(AB)=r_{\infty}(BA)$.

(4) 证明: $|s(AB)-s(BA)|\leq 1$, 并举例说明可取到 $A,B$, 使得 $|s(AB)-s(BA)|=1$.

提示  前面两问参考复旦高代白皮书例4.32的证明. 后面两问合在一起考虑, 利用秩的基本公式以及 $(AB)^{i+1}=A(BA)^iB$ 和 $B(AB)^{i+1}A=(BA)^{i+2}$ 来证明.

[问题2015A06]  设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶方阵, $A_{ij}$ 表示元素 $a_{ij}$ 对应的代数余子式. 设 $1\leq i_1<\cdots<i_r\leq n$, $1\leq j_1<\cdots<j_r\leq n$ 为两组给定的指标集, $\hat{\,i}$ 表示 $i$ 不在指标集中, 试证明:

$$\begin{vmatrix} A_{i_1j_1} & \cdots & A_{i_rj_1} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ A_{i_1j_r} & \cdots & A_{i_rj_r} \end{vmatrix}=(-1)^{i_1+\cdots+i_r+j_1+\cdots+j_r}A\begin{pmatrix} 1 & \cdots & \hat{i_1} & \cdots & \hat{i_r} & \cdots & n \\ 1 & \cdots & \hat{j_1} & \cdots & \hat{j_r} & \cdots & n \end{pmatrix}|A|^{r-1}.$$

提示  先利用公式 $AA^*=|A|I_n$ 以及复旦高代白皮书例9.39类似的方法证明 $i_1=j_1=1$, $\cdots$, $i_r=j_r=r$ 的特殊情形, 然后再利用行列对换将一般情形化约到特殊情形即可.

[问题2015A07]  设 $V$ 是 $M_n(\mathbb{K})$ 的子空间, 满足 $V$ 中所有的非零矩阵都是非异阵, 证明: $\dim_{\mathbb{K}}V\leq n$.

提示  构造 $M_n(\mathbb{K})$ 的子空间 $U$, 满足 $U$ 中所有的矩阵都是奇异阵且 $\dim U=n^2-n$, 然后利用直和 $V\oplus U\subseteq M_n(\mathbb{K})$ 得到结论.

[问题2015A08]  设 $\varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 满足 $\varphi^m=0$, 其中 $m,q$ 为正整数, $n=mq+1$. 证明: $\dim\mathrm{Im\,}\varphi\leq n-q-1$.

提示  代数方法可用 Sylvester 不等式, 几何方法可用线性映射的维数公式.

[问题2015A09]  定义: 线性空间 $V$ 中的一族向量 $B=\{e_i\}_{i\in I}$ 称为线性无关的, 如果 $B$ 中任意有限个向量都是线性无关的. $B=\{e_i\}_{i\in I}$ 称为线性空间 $V$ 的一组基, 如果 $B$ 是线性无关的, 并且 $V=L(B)$, 即 $V$ 中任一向量都是 $B$ 中有限个向量的线性组合. 利用 Zorn 引理或选择公理可证明任一线性空间 $V$ 中都存在一组基 $B$ (在抽象代数课中会给出证明, 大家现在予以承认即可).

(1) 证明: $\mathbb{K}[x]$ 的一组基为 $B=\{1,x,x^2,x^3,\cdots\}$.

(2) 举例说明: 复旦高代教材第 204 页的习题 3 对无限维线性空间一般并不成立, 即存在无限维线性空间 $V$ 上的自同构 $\varphi$ 以及 $\varphi$ 的不变子空间 $W$, 但 $W$ 不是 $\varphi^{-1}$ 的不变子空间.

提示  考虑 $V=\mathbb{K}[x]$ 的基之间的双射诱导的线性自同构, 然后再构造相应的 $\varphi$-不变子空间 $W$.

[问题2015A10]  设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, 证明下列条件等价:

(1) $V=\mathrm{Ker\,}\varphi+\mathrm{Im\,}\varphi$;

(2) $V=\mathrm{Ker\,}\varphi\oplus\mathrm{Im\,}\varphi$;

(3) $\mathrm{Ker\,}\varphi\cap\mathrm{Im\,}\varphi=0$;

(4) $\mathrm{Ker\,}\varphi=\mathrm{Ker\,}\varphi^2$, 或等价地, $\dim\mathrm{Ker\,}\varphi=\dim\mathrm{Ker\,}\varphi^2$;

(5) $\mathrm{Im\,}\varphi=\mathrm{Im\,}\varphi^2$, 或等价地, $r(\varphi)=r(\varphi^2)$;

(6) $\mathrm{Ker\,}\varphi$ 存在 $\varphi$-不变的补空间, 即存在 $\varphi$-不变子空间 $U$, 使得 $V=\mathrm{Ker\,}\varphi\oplus U$;

(7) $\mathrm{Im\,}\varphi$ 存在 $\varphi$-不变的补空间, 即存在 $\varphi$-不变子空间 $W$, 使得 $V=\mathrm{Im\,}\varphi\oplus W$.

[问题2015A11]  设 $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_m(x)\in\mathbb{K}[x]$, 证明: $$((f_1(x),f_2(x)),f_3(x),\cdots,f_m(x))=(f_1(x),f_2(x),f_3(x),\cdots,f_m(x)),$$ $$[[f_1(x),f_2(x)],f_3(x),\cdots,f_m(x)]=[f_1(x),f_2(x),f_3(x),\cdots,f_m(x)].$$

注  复旦高代书第 216 页定理 5.3.1 告诉我们: 可用辗转相除法求两个多项式的最大公因式, 第 220 页推论 5.3.6 将求两个多项式的最小公倍式转化为求两个多项式的最大公因式. 由于最大公因式 (最小公倍式) 的定义与 $f_i(x)$ 的顺序无关, 上述公式告诉我们: 求 $m$ 个多项式的最大公因式 (最小公倍式) 时, 可以任意选取两个多项式先求最大公因式 (最小公倍式), 然后再求 $m-1$ 个多项式的最大公因式 (最小公倍式), 这样不断地递推下去, 最后可求得 $m$ 个多项式的最大公因式 (最小公倍式). 这是一种不依赖于多项式因式分解的可计算的方法.

[问题2015A12]  设循环矩阵 $A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_2 & a_3 & a_4 & \cdots & a_1 \end{pmatrix}$ 是非异阵, 求证: $A^{-1}$ 也是循环矩阵.

提示  利用新白皮书的例2.12、例2.52和例5.75类似的证明方法 (互素多项式的应用) 来做.