文章目录

什么是Z变换
离散时间信号的Z变换的定义
Z变换收敛域的特性
Z变换的性质和定理
常用序列的Z变换及其收敛域
逆Z变换
差分方程的Z变换解

什么是Z变换

Z变换（Z-transformation）是对离散序列进行的一种数学变换，常用于求线性时不变差分方程的解。它可将离散时间序列变换为在复频域的表达式，可将差分方程转化为代数方程。它在离散时间信号处理中的地位，如同拉普拉斯变换在连续时间信号处理中的地位。离散时间信号的Z变换是分析线性时不变离散时间系统问题的重要工具。

离散时间信号的Z变换的定义

序列x(n)的Z变换定义为
X(z)=∑n=−∞∞x(n)z−nX(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n} X(z)=n=−∞∑∞x(n)z−n

z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。注意在定义中，对n求和是在±∞\pm \infty±∞之间求和，称为双边Z变换。

单边Z变换的定义如下：
X(z)=∑n=0∞x(n)z−nX(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x(n)z^{-n} X(z)=n=0∑∞x(n)z−n
Z变换存在的条件是上式等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即
∑n=−∞∞∣x(n)z−n∣<∞\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)z^{-n}|<\infty n=−∞∑∞∣x(n)z−n∣<∞
使得上式成立，z变量取值的域称为收敛域。一般收敛域用环状区域来表示
Rx−<∣z∣<Rx+R_{x-}<|z|<R_{x+} Rx−<∣z∣<Rx+

Z变换收敛域的特性

1、有限长序列

如序列x(n)满足下式：
x(n)={x(n)n1≤n≤n20其他x(n)=\begin{cases}x(n)&n_1 \leq n \leq n_2\\0&其他\end{cases} x(n)={x(n)0n1≤n≤n2其他

其Z变换为 X(z)=∑n=n1n2x(n)z−nX(z)=\sum_{n=n_1}^{n_2}x(n)z^{-n}X(z)=∑n=n1n2x(n)z−n

如果n1<0n_1<0n1<0，X(z)中包含z−nz^{-n}z−n的项，∣z∣−>∞,∣z−n1∣−>∞|z|->\infty,|z^{-n_1}|->\infty∣z∣−>∞,∣z−n1∣−>∞，所以X(z)的收敛域不包括∞\infty∞点；

同理，如果n2>0n_2>0n2>0，则收敛域不包括z=0点

因此，具体有限长序列的收敛域表示如下：

n1<0,n2≤0时，0≤∣z∣<∞n_1<0,n_2\leq 0时，0\leq|z|<\inftyn1<0,n2≤0时，0≤∣z∣<∞

n1<0,n2>0时，0<∣z∣<∞n_1<0,n_2> 0时，0<|z|<\inftyn1<0,n2>0时，0<∣z∣<∞

n1≥0,n2>0时，0<∣z∣≤∞n_1\geq0,n_2> 0时，0<|z|\leq \inftyn1≥0,n2>0时，0<∣z∣≤∞

2、右序列

右序列是在n≥n1n\geq n_1n≥n1时，序列值不全为零，而其他n<n1n<n_1n<n1，序列值全为零
X(z)=∑n=n1∞x(n)z−n=∑n=n1−1x(n)z−n+∑n=0∞x(n)z−nX(z)=\sum_{n=n_1}^{\infty}x(n)z^{-n}=\sum_{n=n_1}^{-1}x(n)z^{-n}+\sum_{n=0}^{\infty}x(n)z^{-n} X(z)=n=n1∑∞x(n)z−n=n=n1∑−1x(n)z−n+n=0∑∞x(n)z−n
第一项为有限长序列，设n1≤−1n_1 \leq-1n1≤−1，其收敛域0≤∣z∣<∞0\leq |z|<\infty0≤∣z∣<∞。

第二项为因果序列，其收敛域RX−<∣z∣≤∞,RX−是第二项最小的收敛半径R_{X-}< |z|≤\infty,R_{X-}是第二项最小的收敛半径RX−<∣z∣≤∞,RX−是第二项最小的收敛半径。

将两收敛域相与，其收敛域为RX−<∣z∣<∞R_{X-}< |z|<\inftyRX−<∣z∣<∞。如果是因果序列，收敛域定为RX−<∣z∣≤∞R_{X-}< |z|≤\inftyRX−<∣z∣≤∞

什么是因果序列？

x(n)={x(n)n≥00n<0x(n)=\begin{cases}x(n)&n\geq0\\0&n<0\end{cases}x(n)={x(n)0n≥0n<0

3、左序列

左序列是在n≤n2n\leq n_2n≤n2时，序列值不全为零，而其他$ n>n_2 $，序列值全为零的序列
X(z)=∑n=−∞n2x(n)z−nX(z)=\sum_{n=-\infty}^{n_2}x(n)z^{-n} X(z)=n=−∞∑n2x(n)z−n
如果n2<0n_2<0n2<0，收敛域为0≤∣z∣<Rx+0\leq|z|<R_{x+}0≤∣z∣<Rx+;如果n2>0n_2>0n2>0，收敛域为0<∣z∣<Rx+0<|z|<R_{x+}0<∣z∣<Rx+

4、双边序列

一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和，其Z变换表示为(n1>0n_1>0n1>0)
X(z)=∑n=−∞∞x(n)z−n=X1(n)+x2(n)X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}=X_1(n)+x_2(n) X(z)=n=−∞∑∞x(n)z−n=X1(n)+x2(n)

X1(z)=∑n=−∞n1x(n)z−n,0<∣z∣<Rx+X_1(z)=\sum_{n=-\infty}^{n_1}x(n)z^{-n},0<|z|<R_{x+} X1(z)=n=−∞∑n1x(n)z−n,0<∣z∣<Rx+

X2(z)=∑n=n1+1∞x(n)z−n,RX−<∣z∣≤∞X_2(z)=\sum_{n=n_1+1}^{\infty}x(n)z^{-n},R_{X-}< |z|\leq\infty X2(z)=n=n1+1∑∞x(n)z−n,RX−<∣z∣≤∞

X(z)的收敛域是 X1(z)和X2(z)X_1(z)和X_2(z)X1(z)和X2(z) 收敛域的公共收敛域
如果RX+>RX−R_{X+}>R_{X-}RX+>RX−，其收敛域为RX−<∣z∣<RX+R_{X-}<|z|<R_{X+}RX−<∣z∣<RX+，这是一个环状域
如果RX+<RX−R_{X+}<R_{X-}RX+<RX−，两个收敛域没有公共区域，X(z)没有收敛域，因此X(z)不存在

Z变换的性质和定理

1、线性

设m(n)=ax(n)+by(n)，a,b为常数

X(z)=ZT[x(n)],Rx−<∣z∣<Rx+;Y(z)=ZT[y(n)],Ry−<∣z∣<Ry+X(z)=ZT[x(n)],R_{x-}<|z|<R_{x+};Y(z)=ZT[y(n)],R_{y-}<|z|<R_{y+}X(z)=ZT[x(n)],Rx−<∣z∣<Rx+;Y(z)=ZT[y(n)],Ry−<∣z∣<Ry+

则M(z)=ZT[m(n)]=aX(z)+bY(z)],Rm−<∣z∣<Rm+M(z)=ZT[m(n)]=aX(z)+bY(z)],R_{m-}<|z|<R_{m+}M(z)=ZT[m(n)]=aX(z)+bY(z)],Rm−<∣z∣<Rm+

Rm+=min[Rx+,Ry+]，Rm−=max[Rx−,Ry−]R_{m+}=min[R_{x+},R_{y+}]，R_{m-}=max[R_{x-},R_{y-}]Rm+=min[Rx+,Ry+]，Rm−=max[Rx−,Ry−]

这里M(z)的收敛域是X(z)和Y(z)的公共收敛域；如果没有公共收敛域，则M(z)不存在

2、移位特性

设X(z)=ZT[x(n)],Rx−<∣z∣<Rx+X(z)=ZT[x(n)] , R_{x-}<|z|<R_{x+}X(z)=ZT[x(n)],Rx−<∣z∣<Rx+

则ZT[x(n−n0)]=z−n0X(z),Rx−<∣z∣<Rx+ZT[x(n-n_0)]=z^{-n_0}X(z) , R_{x-}<|z|<R_{x+}ZT[x(n−n0)]=z−n0X(z),Rx−<∣z∣<Rx+
3、乘以指数序列

设X(z)=ZT[x(n)],Rx−<∣z∣<Rx+X(z)=ZT[x(n)],R_{x-}<|z|<R_{x+}X(z)=ZT[x(n)],Rx−<∣z∣<Rx+

y(n)=anx(n),a为常数y(n)=a^nx(n),a为常数y(n)=anx(n),a为常数

则Y(z)=ZT[anx(n)]=X(a−1z),∣a∣Rx−<∣z∣<∣a∣Rx+Y(z)=ZT[a^nx(n)]=X(a^{-1}z),|a|R_{x-}<|z|<|a|R_{x+}Y(z)=ZT[anx(n)]=X(a−1z),∣a∣Rx−<∣z∣<∣a∣Rx+

4、序列乘以n

5、序列卷积定理

设(n)=x(n)∗y(n)(n)=x(n)^*y(n)(n)=x(n)∗y(n)

X(z)=ZT[x(n)],Rx−<∣z∣<Rx+X(z)=ZT[x(n)] , R_{x-}<|z|<R_{x+}X(z)=ZT[x(n)],Rx−<∣z∣<Rx+

Y(z)=ZT[y(n)],Ry−<∣z∣<Ry+Y(z)=ZT[y(n)],R_{y-}<|z|<R_{y+}Y(z)=ZT[y(n)],Ry−<∣z∣<Ry+

则W(z)=ZT[(n)]=X(z)⋅Y(z),Rw−<∣z∣<Rw+W(z)=ZT[(n)]=X(z)\cdot Y(z),R_{w-}<|z|<R_{w+}W(z)=ZT[(n)]=X(z)⋅Y(z),Rw−<∣z∣<Rw+

Rw+=min[Rx+,Ry+]，Rw−=max[Rx−,Ry−]R_{w+}=min[R_{x+},R_{y+}]，R_{w-}=max[R_{x-},R_{y-}]Rw+=min[Rx+,Ry+]，Rw−=max[Rx−,Ry−]

W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域

6、初值定理

设x(n)是因果序列，X(z)=ZT[x(n)]X(z)=ZT[x(n)]X(z)=ZT[x(n)]

那么x(0)=lim⁡z−>∞X(z)x(0)=\lim_{z->\infty}X(z)x(0)=limz−>∞X(z)

证明：
X(z)=∑n=0∞x(n)z−n=x(0)+x(1)z−1+x(2)z−2+…X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x(n)z^{-n}=x(0)+x(1)z^{-1}+x(2)z^{-2}+\ldots X(z)=n=0∑∞x(n)z−n=x(0)+x(1)z−1+x(2)z−2+…
因此lim⁡z−>∞X(z)=x(0)\lim_{z->\infty}X(z)=x(0)limz−>∞X(z)=x(0)

7、终值定理

若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则下式称为终值定理
lim⁡n−>∞x(n)=lim⁡z−>1(z−1)X(z)\lim_{n->\infty}x(n)=\lim_{z->1}(z-1)X(z) n−>∞limx(n)=z−>1lim(z−1)X(z)

常用序列的Z变换及其收敛域

序列	Z变换	收敛域
δ(n)\delta(n)δ(n)	1	0≤∥z∥≤∞0\leq\\|z\\|\leq\infty0≤∥z∥≤∞
u(n)u(n)u(n)	11−z−1\frac{1}{1-z^{-1}}1−z−11	∥z∥>1\\|z\\|>1∥z∥>1
anu(n)a^nu(n)anu(n)	11−az−1\frac{1}{1-az^{-1}}1−az−11	∥z∥>∥a∥\\|z\\|>\\|a\\|∥z∥>∥a∥
−anu(−n−1)-a^nu(-n-1)−anu(−n−1)	11−az−1\frac{1}{1-az^{-1}}1−az−11	∥z∥<∥a∥\\|z\\|<\\|a\\|∥z∥<∥a∥
nu(n)nu(n)nu(n)	z−1(1−z−1)2\frac{z^{-1}}{(1-z^{-1})^2}(1−z−1)2z−1	∥z∥>1\\|z\\|>1∥z∥>1
nanu(n)na^nu(n)nanu(n)	az−1(1−az−1)2\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}(1−az−1)2az−1	∥z∥>∥a∥\\|z\\|>\\|a\\|∥z∥>∥a∥

逆Z变换

已知序列的Z变换及其收敛域，求序列称为逆Z变换。
x(n)=12πj∮cX(z)zn−1dz,c∈(Rx−,Rx+)x(n)=\frac1{2\pi j}\oint_cX(z)z^{n-1}dz,c\in(R_{x-},R_{x+}) x(n)=2πj1∮cX(z)zn−1dz,c∈(Rx−,Rx+)

式中，围线c是收敛域内一条逆时针的封闭曲线

差分方程的Z变换解

设N阶线性常系数差分方程为
∑k=0Naky(n−k)=∑i=0Mbix(n−i),a0=1(1)\sum_{k=0}^Na_ky(n-k)=\sum_{i=0}^Mb_ix(n-i),a_0=1(1) k=0∑Naky(n−k)=i=0∑Mbix(n−i),a0=1(1)
系统的全响应：由零输入响应和零状态响应叠加而成。

零输入响应: 假定系统输入为零，由系统初始条件引起的响应；可采用单边Z变换来分析
零状态响应: 假定系统初始条件为零，由系统输入的引起的响应；即x(n)*h(n)

计算全响应：

对于N阶差分方程，必须已知N个初始条件
设x(n)是因果序列，即x(n)=0,n<0,已知初始条件y(-1)，y(-2)，…，y(-N)。对(1)式进行Z变换时，要用单边Z变换。方程式的右边由于x(n)是因果序列，单边Z变换与双边Z变换相同。
下面先求移位序列的单边Z变换

设 Y(z)=∑n=0∞y(n)z−nY(z)=\sum_{n=0}^{\infty}y(n)z^{-n}Y(z)=∑n=0∞y(n)z−n ，对y(z)移位k后的y(n-k)，求其单边Z变换：
ZT[y(n−k)u(n)]=∑n=0∞y(n−k)z−n=z−k∑n=0∞y(n−k)z−(n−k)ZT[y(n-k)u(n)]=\sum_{n=0}^{\infty}y(n-k)z^{-n}=z^{-k}\sum_{n=0}^{\infty}y(n-k)z^{-(n-k)} ZT[y(n−k)u(n)]=n=0∑∞y(n−k)z−n=z−kn=0∑∞y(n−k)z−(n−k)

=z−k∑l=−k∞y(l)z−l=z−k[∑l=0∞y(l)z−l+∑l=−k−1y(l)z−l]=z^{-k}\sum_{l=-k}^{\infty}y(l)z^{-l}=z^{-k}[\sum_{l=0}^{\infty}y(l)z^{-l}+\sum_{l=-k}^{-1}y(l)z^{-l}] =z−kl=−k∑∞y(l)z−l=z−k[l=0∑∞y(l)z−l+l=−k∑−1y(l)z−l]

=z−k[Y(z)+∑l=−k−1y(l)z−l]=z^{-k}[Y(z)+\sum_{l=-k}^{-1}y(l)z^{-l}] =z−k[Y(z)+l=−k∑−1y(l)z−l]

对(1)式进行单边Z变换，其中x(n)为因果序列
∑k=0Nakz−k[Y(z)+∑l=−k−1y(l)z−l]=∑i=0MbiX(z)z−i,a0=1\sum_{k=0}^{N}a_kz^{-k}[Y(z)+\sum_{l=-k}^{-1}y(l)z^{-l}]=\sum_{i=0}^{M}b_iX(z)z^{-i},a_0=1 k=0∑Nakz−k[Y(z)+l=−k∑−1y(l)z−l]=i=0∑MbiX(z)z−i,a0=1

Y(z)=∑i=0Mbiz−i∑k=0Nakz−kX(z)−∑k=0Nakz−k∑l=−k−1y(l)z−l∑k=0Nakz−k,a0=1Y(z)=\frac{\sum_{i=0}^{M}b_iz^{-i}}{\sum_{k=0}^{N}a_kz^{-k}}X(z)-\frac{\sum_{k=0}^Na_kz^{-k}\sum_{l=-k}^{-1}y(l)z^{-l}}{\sum_{k=0}^{N}a_kz^{-k}},a_0=1 Y(z)=∑k=0Nakz−k∑i=0Mbiz−iX(z)−∑k=0Nakz−k∑k=0Nakz−k∑l=−k−1y(l)z−l,a0=1

式中第一项为零状态解，第二项为零输入解

对Y(z)做逆Z变换，得到全响应y(n)

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