扩展欧几里得算法的证明

扩展欧几里得算法实际上就是对于ax+by=gcd(a,b)，一定有一组整数解x，y使其成立
对于这个式子的证明，可以采用数学归纳法进行实现，先证明当n= 1时命题成立。
假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。（m代表任意自然数）
然后命题得证。
在这个式子里，也就是当b=0是一定成立，假设bx+（a%b）y=gcd（b，a%b）成立，证明ax+by=gcd(a,b)成立
实际上已知bx1+（a%b）y1=gcd（b，a%b）需要证明ax2+by2=gcd（a，b）
我们令a=kb+c,也就是c是a%b.移项得：c=a-kb.将这个式子代入到已知式子：
bx1+(a-kb)y1=gcd(b,a%b)，
化简可得ay1+b*(x1-ky1)=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)及当x2=y1 y2=x1-ky1时满足条件
k=a/b；
所以程序也很简单

 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y,int &d){if(b==0)  d=a,x=1,y=0;else  exgcd(b,a%b,x,y,d),t=x,x=y,y=t-a/b*y;
}

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