泛函分析 04.02 有界线性算子 - 有界线性算子空间的收敛与完备性

§4.2有界线性算子空间的收敛与完备性 \color{blue}{\S 4.2 有界线性算子空间的收敛与完备性}

4.2.1有界线性算子空间中的收敛性 \color{blue}{4.2.1 有界线性算子空间中的收敛性}

∙由算子的范数∥⋅∥可以诱导出距离: \bullet 由算子的范数 \Vert \cdot \Vert 可以{\color{red}{诱导出距离}}:
d(A 1 ,A 2 )=∥A 1 −A 2 ∥,∀A 1 ,A 2 ∈B(X,X 1 )(4.2.1) \qquad d(A_1, A_2) = \Vert A_1 - A_2 \Vert, \forall A_1, A_2 \in \mathscr{B}(X, X_1) \quad (4.2.1)
因此,B(X,X 1 )也是距离空间. 因此, \mathscr{B}(X, X_1) 也是距离空间.
∙显然在B(X,X 1 )中可以讨论算子列按范数的收敛性. \bullet 显然在\mathscr{B}(X, X_1)中{\color{blue}{可以讨论算子列按范数的收敛性}}.

定义4.2.1设A n ,A∈B(X,X 1 ),若定义 4.2.1 设 A_n, A \in \mathscr{B}(X, X_1), 若
∥A n −A∥→0,(n→∞), \qquad \Vert A_n - A \Vert \to 0, (n \to \infty),
则称有界线性算子列{A n }按范数收敛到有界线性算子A. 则称有界线性算子列 \lbrace A_n \rbrace {\color{red}{按范数收敛}}到有界线性算子 A.

定理4.2.2空间B(X,A 1 )中线性算子列按范数收敛定理 4.2.2 空间 \mathscr{B}(X, A_1) 中线性算子列{\color{blue}{按范数收敛}}
等价于线性算子列在X中的单位球面S上一致收敛. 等价于线性算子列在{\color{brown}{X 中的单位球面S上一致收敛}}.
证明:必要性. 证明:{\color{green}{必要性}}.
∙即证明: \bullet 即证明:
∥A n −A∥→0⇒∥A n x−Ax∥⇉0(n→∞) \qquad {\color{blue}{\Vert A_n - A \Vert \to 0}} \Rightarrow {\color{red}{\Vert A_n x - Ax \Vert \rightrightarrows 0 (n \to \infty)}}
(收敛的速度与x无关,x∈S). (收敛的速度与 x 无关, x \in S).
事实上,对于任何x∈S,∥x∥=1,有事实上, 对于{\color{blue}{任何}} x \in S, \Vert x \Vert = 1, 有
∥A n x−Ax∥≤sup ∥x∥=1 ∥(A n −A)x∥ \qquad \Vert A_n x - Ax \Vert \leq \sup \limits_{\Vert x \Vert = 1} \Vert (A_n - A)x \Vert
=∥A n −A∥→0(n→∞), \qquad = \Vert A_n - A \Vert \to 0 (n \to \infty),
即{A n }在S上一致收敛(收敛的速度与x无关). 即 \lbrace A_n \rbrace 在 S 上{\color{blue}{一致收敛}}(收敛的速度与 x 无关).
充分性. {\color{green}{充分性}}.
∙即证明: \bullet 即证明:
∥A n x−Ax∥⇉0(收敛的速度与x无关) \qquad {\color{blue}{\Vert A_n x - Ax \Vert \rightrightarrows 0}} (收敛的速度与 x 无关)
⟹∥A n −A∥→0(n→∞). \qquad \Longrightarrow {\color{red}{\Vert A_n - A \Vert \to 0 (n \to \infty)}}.
事实上,由{A n }在S上一致收敛到A,则事实上, 由 \lbrace A_n \rbrace 在 S 上一致收敛到 A, 则
对任给的ε>0,∃N,当n≥N时,对∀x∈S,有 {\color{blue}{对任给的 \varepsilon > 0, \exists N}}, 当 n \geq N 时, {\color{blue}{对\forall x \in S}}, 有
∥A n x−Ax∥<ε, \qquad \Vert A_n x - Ax \Vert
于是当n≥N时, 于是当 n \geq N 时,
∥A n −A∥=sup ∥x∥=1 ∥A n x−Ax∥≤ε. \qquad \Vert A_n - A \Vert = \sup \limits_{\Vert x \Vert = 1} \Vert A_n x - Ax \Vert \leq \varepsilon.
即{A n }按范数收敛到A. 即 \lbrace A_n \rbrace {\color{blue}{按范数收敛}}到A.
注:算子列{A n }按范数收敛等价于在有界集上一致收敛. 注:算子列\lbrace A_n \rbrace {\color{blue}{按范数收敛}} 等价于{\color{blue}{在有界集上一致收敛}}.
∙事实上,设M⊂X有界,则对∀x∈M,有x∥x∥ ∈S, \bullet 事实上, 设 {\color{red}{M \subset X 有界}}, 则对 \forall x \in M, 有 \dfrac{x}{\Vert x \Vert} \in S,
∙于是 \bullet 于是
∥A n (x∥x∥ )−A(x∥x∥ )∥<ε(n充分大), \qquad \Vert A_n (\dfrac{x}{\Vert x \Vert}) - A (\dfrac{x}{\Vert x \Vert}) \Vert
∙即 \bullet 即
∥A n x−Ax∥<ε∥x∥≤Kε,(n充分大), \qquad \Vert A_nx - Ax \Vert
其中K是M的界. 其中K是M的界.
∙这说明在有界集上一致收敛(收敛的速度与x无关). \bullet 这说明在有界集上一致收敛(收敛的速度与 x 无关).
∙在数学分析中,函数的收敛有逐点收敛、一致收敛, \bullet {\color{green}{在数学分析中}}, 函数的收敛{\color{brown}{有逐点收敛、一致收敛}},
处理不同的问题使用不同的收敛性. 处理不同的问题使用不同的收敛性.
∙在泛函分析中,根据研究问题不同,也可以考虑不同的收敛性. \bullet {\color{green}{在泛函分析中}}, 根据研究问题不同, {\color{brown}{也可以考虑不同的收敛性}}.
∙线性算子在空间B(X,X 1 )中,除了按范数收敛(或称 \bullet 线性算子{\color{green}{在空间\mathscr{B}(X, X_1)中}}, 除了{\color{brown}{按范数收敛}}(或称
一致收敛),还可定义其它收敛方式. 一致收敛), {\color{blue}{还可定义其它收敛方式}}.

定义4.2.3设T n ,T∈B(X,X 1 )(n=1,2,⋯).如果定义 4.2.3 设 T_n, T \in \mathscr{B}(X, X_1) (n = 1, 2, \cdots). 如果
对于∀x∈X,T n x→Tx(n→∞),即对于 \forall x \in X, T_n x \to Tx(n \to \infty), 即
∥T n x−Tx∥→0(n→∞), \qquad \Vert T_n x - Tx \Vert \to 0 (n \to \infty),
则称{T n }逐点收敛到T, 则称 \lbrace T_n \rbrace {\color{blue}{逐点收敛}}到T,
或称{T n }强收敛到T,记为T n → 强 T(n→∞). 或称 \lbrace T_n \rbrace {\color{blue}{强收敛}}到T, 记为 T_n \stackrel{强}{\to} T(n \to \infty).
注：{T n }按范数收敛到T(一致收敛)⇒T n → 强 T. 注：\lbrace T_n \rbrace {\color{red}{按范数收敛到T(一致收敛) \Rightarrow T_n \stackrel{强}{\to} T}} .
∙事实上 \bullet 事实上
∥T n −T∥<ε(n>N)⇒ \qquad \Vert T_n - T \Vert N) \Rightarrow
∥(T n −T)x∥≤∥T n −T∥∥x∥<ε∥x∥(n>N),∀x∈X, \Vert (T_n - T)x \Vert \leq \Vert T_n - T \Vert \Vert x \Vert N), \forall x \in X,
∙但是强收敛不一定是一致收敛. \bullet 但是{\color{blue}{强收敛不一定是一致收敛}}.

例4.2.4X=l p ,x∈l p ,x=(ξ 1 ,ξ 2 ,⋯,ξ n ,⋯), 例 4.2.4 X = l^p, x \in l^p, x = (\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n, \cdots),
考虑左移算子: 考虑左移算子:
T n x=x n =(ξ n ,ξ n+1 ,⋯). \qquad T_n x = x_n = (\xi_n, \xi_{n+1}, \cdots).
∥T n x∥=∥x n ∥=(∑ k=n ∞ |ξ k | p ) 1p   \qquad \Vert T_n x \Vert = \Vert x_n \Vert = (\sum \limits_{k=n}^{\infty} |\xi_k|^p)^{\frac{1}{p}}
≤(∑ k=1 ∞ |ξ k | p ) 1p  =∥x∥, \qquad \leq (\sum \limits_{k=1}^{\infty} |\xi_k|^p)^{\frac{1}{p}} = \Vert x \Vert,
可见T n 是有界线性算子,且∥T n ∥≤1. 可见{\color{blue}{T_n是有界线性算子}}, 且 \Vert T_n \Vert \leq 1.
▶下面考虑此线性算子列的收敛性. \blacktriangleright 下面考虑{\color{red}{此线性算子列的收敛性}}.
∙{T n }强收敛到零,但{T n }不是按范数收敛到零. \bullet {\color{blue}{\lbrace T_n \rbrace 强收敛到零, 但 \lbrace T_n \rbrace 不是按范数收敛到零}}.
(1){T n }强收敛到零. (1){\color{brown}{\lbrace T_n \rbrace 强收敛到零}}.
lim n→∞ ∥T n x∥=lim n→∞ ∥x n ∥=lim n→∞ (∑ k=n ∞ |ξ k | p ) 1p  =0. \lim \limits_{n \to \infty} \Vert T_n x \Vert = \lim \limits_{n \to \infty} \Vert x_n \Vert = \lim \limits_{n \to \infty} (\sum \limits_{k=n}^{\infty} |\xi_k|^p)^{\frac{1}{p}} = 0.
(2){T n }不是按范数收敛到零. (2){\color{brown}{\lbrace T_n \rbrace 不是按范数收敛到零}}.
令y n =(0,⋯,0, 1 n ,0,⋯)∈l p ,则令 y_n = (0, \cdots, 0, {^1_n}, 0, \cdots) \in l^p, 则
∥y n ∥=1,T n y n =(1,0,0,⋯), \qquad \Vert y_n \Vert = 1, T_ny_n = (1, 0, 0, \cdots),
于是∥T n y n ∥=1,所以∥T n ∥≥∥T n y n ∥=1. 于是 {\color{blue}{\Vert T_ny_n \Vert = 1}}, 所以 \Vert T_n \Vert \geq \Vert T_n y_n \Vert = 1.
结合∥T n ∥≤1,我们有∥T n ∥=1, 结合 \Vert T_n \Vert \leq 1, 我们有 \Vert T_n \Vert = 1,
所以∥T n −0∥=1不收敛到零. 所以 {\color{red}{\Vert T_n - 0 \Vert = 1 不收敛到零}}.

4.2.2.有界线性算子空间的完备性 \color{blue}{4.2.2. 有界线性算子空间的完备性}

∙有界线性算子组成的空间是一个赋范空间,于是可以讨论它的完备性. \bullet {\color{blue}{有界线性算子组成的空间}}是一个赋范空间,于是可以讨论它的完备性.
∙一个赋范空间是完备的(Banach空间)⇔空间中的Cauchy列一定收敛. \bullet 一个赋范空间是完备的(Banach空间) \Leftrightarrow 空间中的 {\color{red}{Cauchy 列一定收敛}}.

定理4.2.5设X是赋范空间,X 1 是Banach空间,则定理 4.2.5 设 X 是赋范空间, {\color{blue}{X_1 是 Banach 空间}}, 则
B(X,X 1 )是Banach空间. {\color{red}{\mathscr{B}(X, X_1) 是 Banach 空间}}.
证明分析: 证明分析:
(1)要证明B(X,X 1 )是Banach空间,只要证明此空间 (1) 要证明 \mathscr{B}(X, X_1)是 Banach 空间, 只要证明此空间
中的任意一Cauchy列{T n }都收敛中的{\color{green}{任意一 Cauchy 列 \lbrace T_n \rbrace 都收敛}}
(注意:{T n }按线性算子空间中的范数收敛). (注意: {\color{blue}{\lbrace T_n \rbrace 按线性算子空间中的范数收敛}}).
(2)为此,对于空间中的任意一个Cauchy列{T n },要做 (2) 为此, 对于空间中的{\color{blue}{任意一个 Cauchy 列 \lbrace T_n \rbrace}}, 要做
以下三件事: 以下三件事:
(i)构造一个线性算子T; (i){\color{red}{构造}}一个线性算子T;
(ii)证明T是有界线性算子; (ii) 证明 T 是{\color{red}{有界}}线性算子;
(iii)证明{T n }按算子的范数趋近于T. (iii) 证明 \lbrace T_n \rbrace {\color{red}{按算子的范数}}趋近于 T.
证明:(i)构造一个线性算子T. 证明:(i){\color{blue}{构造一个线性算子T}}.
设{T n }是B(X,X 1 )中的Cauchy列. 设 \lbrace T_n \rbrace 是 \mathscr{B}(X, X_1)中的 Cauchy 列.
则对于任给的ε>0,存在N,当n,m≥N时,有则对于任给的 \varepsilon > 0, 存在 N, 当 n,m \geq N 时, 有
∥T n −T m ∥<ε. \qquad \Vert T_n - T_m \Vert
于是,对于∀x∈X, 于是, 对于 \forall x \in X,
∥T n x−T m x∥≤∥T n −T m ∥∥x∥<ε∥x∥(4.2.2) \qquad \Vert T_n x - T_m x \Vert \leq \Vert T_n - T_m \Vert \Vert x \Vert
这表明:对于任何给定的x∈X,{T n x}是X 1 中的Cauchy列. 这表明:{\color{brown}{对于任何给定的 x \in X, \lbrace T_n x \rbrace 是 X_1 中的 Cauchy 列}}.
因为X 1 完备,故存在y∈X 1 ,使得因为 X_1 完备, 故存在 y \in X_1, 使得
T n x→y(n→∞),∀x∈X. \qquad T_n x \to y (n \to \infty), \forall x \in X.
于是对于任意给定的x∈X,有唯一确定的y∈X 1 和它于是对于{\color{blue}{任意给定}}的 x \in X, 有{\color{blue}{唯一确定}}的 y \in X_1 和它
对应,我们可以定义对应, 我们可以定义
Tx=y=lim n→∞ T n x. \qquad {\color{red}{Tx = y = \lim \limits_{n \to \infty} T_n x}} .
由于极限运算是线性的,T是从X到X 1 的线性算子. 由于极限运算是线性的, {\color{blue}{T是从X到X_1的线性算子}}.
(ii)证明T是有界线性算子(Tx=y=lim n→∞ T n x). (ii){\color{blue}{证明 T是有界线性算子}}(Tx = y = \lim \limits_{n \to \infty} T_n x).
注意到注意到
|∥T n ∥−∥T m ∥|≤∥T n −T m ∥→0(n,m→∞), | \Vert T_n \Vert - \Vert T_m \Vert | \leq \Vert T_n - T_m \Vert \to 0 (n, m \to \infty),
即{∥T n ∥}是Cauchy数列. 即 {\color{red}{\lbrace \Vert T_n \Vert \rbrace 是 Cauchy 数列}}.
故存在M>0,使得故存在 M > 0, 使得
∥T n ∥≤M(n=1,2,⋯). \qquad \Vert T_n \Vert \leq M(n = 1, 2, \cdots).
由范数的连续性,我们有由范数的连续性, 我们有
∥Tx∥=∥lim n→∞ T n x∥=lim n→∞ ∥T n x∥≤M∥x∥. \qquad \Vert Tx \Vert = \Vert \lim \limits_{n \to \infty} T_n x \Vert = \lim \limits_{n \to \infty} \Vert T_n x \Vert \leq M \Vert x \Vert.
故T是有界线性算子,即T∈B(X,X 1 ). 故 T 是有界线性算子, 即 T \in \mathscr{B}(X, X_1).
(iii)证明{T n }按范数收敛(一致收敛)到T. (iii) {\color{blue}{证明 \lbrace T_n \rbrace 按范数收敛(一致收敛)到T}}.
因为对∀ε>0,∃N,当n,m≥N时,对于∀x∈X 因为对 \forall \varepsilon > 0, \exists N, 当n, m \geq N 时, 对于 \forall x \in X
∥T n x−T m x∥<ε∥x∥. \qquad \Vert T_n x - T_m x \Vert
令m→∞,由范数的连续性和lim m→∞ T m x=Tx可推出令 m \to \infty, {\color{red}{由范数的连续性}}和 \lim \limits_{m \to \infty} T_m x = Tx 可推出
∥T n x−Tx∥≤ε∥x∥(n>N), \qquad {\color{blue}{\Vert T_n x - Tx \Vert \leq \varepsilon \Vert x \Vert (n > N)}},
即: 即:
∥T n −T∥≤ε(n>N), \qquad \Vert T_n - T \Vert \leq \varepsilon (n > N),
于是有T n →T(n→∞). 于是有 T_n \to T (n \to \infty).
综上可知B(X,X 1 )是Banach空间. 综上可知 \mathscr{B}(X, X_1) 是 Banach 空间.

推论4.2.6设X是一个赋范空间,令推论 4.2.6 设 X 是一个赋范空间, 令
B(X,K)={X上定义的全体有界线性泛函}, \qquad \mathscr{B}(X, \mathbb{K}) = \lbrace {\color{red}{X 上定义的全体有界线性泛函}} \rbrace,
则B(X,K)是完备的. 则{\color{blue}{\mathscr{B}(X, \mathbb{K})是完备的}}.
证明：由于数域K(实的或复的)是完备的. 证明：由于数域\mathbb{K}(实的或复的)是完备的.
因此根据定理4.2.5,赋范空间X上全体有界线性泛函组成的空间是Banach空间. 因此根据定理 4.2.5, 赋范空间 X 上{\color{green}{全体有界线性泛函组成的空间是Banach空间}}.
我们记X ∗ =B(X,K). 我们记 {\color{blue}{X^{\ast} = \mathscr{B}(X, \mathbb{K})}}.
(关于X的共轭空间X ∗ ,可参阅第5.1、5.2节和定义5.2.1) (关于X的共轭空间 {\color{blue}{ X^{\ast} }}, 可参阅第5.1、5.2节和定义 5.2.1)