欧拉图

给定无孤立结点的图G，若存在一条路，经过图中每边一次且仅一次，该条路称为欧拉通路。
Euler Circuit
给定无孤立结点的图G，若存在一条回路，经过图中每边一次且仅一次，该回路称为欧拉回路。
Euler Graph
包含了欧拉回路的图的图称为欧拉图。
包含了欧拉通路的图的图称为半欧拉图。
规定：仅由一个孤立结点构成的平凡图为欧拉图。
Euler Path
图G里的欧拉通路是包含着G的每一条边的简单通路，所有经过图中所有边的通路中长度最短。
Euler Circuit
图G里的欧拉回路是包含着G的每一条边的简单回路，所有经过图中所有边的回路中长度最短。
欧拉通路和欧拉回路就是图中所有边的一种全排列

欧拉定理

无孤立顶点的无向图G具有一条Euler路，当且仅当 G是连通的，且有零个或两个奇数度顶点
推论
无向图G具有一条Euler回路，当且仅当 G是连通的，且所有顶点度数全为偶数
（一个是欧拉路一个是欧拉回路）
由以上欧拉定理知，若有欧拉路，则G连通且有零个或两个奇数度顶点。
若存在两个奇数度顶点，一定是一个为起点V0 ，一个为终点Vn ，且二者不相等，若有零个奇数度顶点，说明所有顶点的度数均为偶数，一定是v0=vn ，即存在回路，则为欧拉回路。

判定一个图G是否可以一笔画出：
(1) 从图G中某一顶点出发，经过图G的每一边一次且仅一次到达另一顶点。
(2)从图G中某一顶点出发，经过图G的每一边一次且仅一次回到该顶点。

有向图中的欧拉回路与欧拉通路

定理10.1.2
 一个无孤立顶点的有向图G含有Euler回路，当且仅当 G是连通的，且每个顶点的出度等于入度(每个顶点的度为偶数，与无向图对应）。
 一个无孤立顶点的有向图G含有Euler通路，当且仅当除去两个顶点外每个顶点的出度和入度相等，其中一个顶点的出度比入度大1，另一个顶点的入度比出度大1。(两个奇数度顶点，通路中不能互换)

Fleury算法求欧拉通路和回路
核心思想:
从图中任一点出发，随机删除与此点相连的边。
在保证以下两个条件的基础上，依次删除与之相连的边：
1）如果删除某边后使得该边的某端点为孤立结点，则将该端点与该边一并删除。
2）删除某边后，不能造成图的不连通。

Hamilton 回路与通路

定义10.1.3：
 给定图G，若存在一条经过图中每个顶点恰好一次的路，该路称作Hamilton通路。
 若存在一条回路，经过图中每个顶点恰好一次，则该回路称作Hamilton回路。
如果一个连通图G含有Hamilton回路，那么G是Hamilton图。

Hamilton Path
图G里的Hamilton通路是包含G的每一顶点的基本通路。
Hamilton Circuit
图G里的Hamilton回路是包含G的每一顶点的基本回路。
Hamilton通路和Hamilton回路就是图中所有结点的一种全排列。
规定：仅由一个孤立结点构成的平凡图为Hamilton图。

Hamilton 图判定的必要条件

适用于半哈密顿图：

上面条件可以用来判断一个图不是哈密顿图：

证明图中不存在哈密顿图：

奥尔定理（充分非必要条件）

哈密顿图充要条件
定理10.1.5 Hamilton图的充要条件:
当且仅当一个简单图的闭包是Hamilton图时，这个简单图是Hamilton图。
定义10.1.5 给定图G=<V,E>有n个结点，若将图G中度数之和至少是n的非邻接结点连接起来得图G’,对图G’重复上述步骤，直到不再有这样的结点对存在为止，所得到的图，称为原图G的闭包，记作C(G)。
定理 10.1.5推论
给定简单无向图G=<V,E>，有n个结点，n≥3，
若C(G)是完全图，则图G是Hamilton图。（完全图：每对顶点之间都有边相连）

判断某无向图是否Hamilton图
结点个数不多的简单无向图
1.根据定义观察出Hamilton回路
2.满足奥尔定理条件(度较小结点开始）,是Hamilton图。
3. 利用定理3的条件，若，则不是
Hamilton图。
4.构造闭包进行判断。
5.很多人为简单易行的充要条件努力

中国邮路问题

邮递员从邮局出发，到他所负责的地段投寄信件。地段中的每条街至少经过一次。问应怎样选择投寄路线使所走的路程最短？
用图论的语言, 这一问题可表述为: 在一个赋权连通无向图G中，求一个权和最小的包含每条边至少一次的闭通路。这样的闭通路简称为最佳邮路。
与欧拉图有相似之处

如果道路刚好是一个Euler图，则容易求解。因为根据问题要求，图中每条边都经过一次且刚好一次，一定是包含了所有边的权和最小的走法。用Fleury算法求出一个Euler回路即可。
如果不是Euler图，则加上若干重复边，使之成为Euler图，并进一步对该Euler 图进行调优。
关键问题：如何添加重复边
中国邮路问题是Euler回路的近似求解。

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