离散数学-图论-欧拉图、哈密顿图、二部图、平面图（14）

欧拉图、哈密顿图、二部图、平面图

1 欧拉图

无向图G是欧拉图 ⇔ \Leftrightarrow ⇔G连通,且无奇度点。
无向图G是半欧拉图 ⇔ \Leftrightarrow ⇔G连通,且仅有两个奇度点。
有向图G是欧拉图 ⇔ \Leftrightarrow ⇔G强连通,且所有顶点的入度=出度。
有向图G是半欧拉图 ⇔ \Leftrightarrow ⇔G单向连通,且仅有两个奇度点，其中一个顶点的出度-人度=1,另一个顶点的入度-出度=1,其余顶点的入度=出度。

2 哈密顿图

定义：

设G=<V，E>是哈密顿图，则对V的每个非空子集 V 1 V_1 V1,均有下式成立: p ( G − V 1 ) ≤ ∣ V 1 ∣ p(G-V_1) \le|V_1| p(G−V1)≤∣V1∣
设G=<V，E>是半哈密顿图，则对V的每个非空子集 V 1 V_1 V1,均有下式成立: p ( G − V 1 ) ≤ ∣ V 1 ∣ + 1 p(G-V_1) \le|V_1|+1 p(G−V1)≤∣V1∣+1

判断方法：
（1）定义判断
（2）G中存在哈密顿回路，是哈密顿图。（注意是哈密顿回路，不是哈密顿通路）G中存在哈密顿通路路，是半哈密顿图。

最中间的图存在哈密顿回路，则为哈密顿图，其他两边的只有哈密顿通路，则为半哈密顿图。

3 二部图

判断二部图： 无向图G=<V,E>是二部图 ⇔ \Leftrightarrow ⇔G中 无奇圈。

图1存在奇度圈，图2，3都只有偶度圈，无奇圈。

4 平面图

定义： 如果能将无向图G画在平面上使得除顶点处外无边相交，则称G是可平面图,简称平面图。画出的无边相交的图称为G的平面嵌入。无平面嵌入的图称为非平面图。

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