第一章第四节空间曲线曲率计算公式及推导

1.4 空间曲线的曲率定义及 计算公式 引理 设是单位圆周上的向量，即， 设与之间的夹角记为，则有 。 证明 因为 ， 所以 。 (用解等腰三角形或用余弦定理，得 。) 定理1.2 设曲线：(是弧长参数)上的每一点有一个单位向量，与之间的夹角记为，那么。 设曲线：，这里参数是曲线自身的弧长，我们知道，是曲线的切向量，，即是单位向量。 记，， 与的夹角，度量了曲线的弯曲程度。 ，我们称之为曲线的 曲率，用来表示，。 (举例解释，需要曲率这个量来刻画曲线；曲珑拐弯，拐弯抹角的程度。) 例1． 直线可以用向量方程表示为，其中和为常向量，并且，这时切向量是常向量，从而，曲率。 反之，如果，即， 由此可知是常向量，进而解得，其中和为常向量。 由此可知：直线的特征是。 例2． 讨论圆 。 (这是由于 ， 而，，故圆的方程可表示为。) 这时，， 。 于是，， 即圆的曲率等于其半径的倒数。 空间曲线曲率的计算公式： 设曲线：，这里参数不必是弧长参数。 我们有， ， 将以上两式的双方作向量外积，得 ， 由于，， 得，(即互相垂直) 所以 由于， 所以， 由此得出曲率公式 。 ， 把 ， 代入曲率公式，可得简便计算公式 。 例3 求圆柱螺线 ， 的曲率。 解 直接计算，得 ， ， 所以， ， ， ， 又 ， 代入公式， 得出曲率 。 它是一个常数，这与几何直觉是相符合的。 平面曲线的曲率计算公式： 设平面曲线L：。 ， 所以，平面曲线L： 的曲率 。 对曲线， 此时， 则曲率 。 若曲线由极坐标方程给出，且二阶可导。 则可得 由曲率公式 ， 可计算： 。 代入，得曲率为 。 例6求心形线在处的曲率。 解 ， 代入公式， 它在 曲率为 。 空间曲线曲率公式的另一种证明方法： 对光滑曲线：，， ，， ， 严格递增，反函数存在，记为，把它代入； 所以，是的函数，这里参数是弧长参数。 我们有 ， ，。 空间曲线的曲率(描述曲线的弯曲程度)。 设曲线的参数方程为：，，，， 并假设是光滑曲线，且，，连续， 设，则曲率。 设曲线：，这里参数不必是弧长参数。 我们有，， ； ，， ，，， ，， ， ， ， ， 由， 代入计算，得 ， 由此而来 ， 由，得 ， 故得空间曲线： 的曲率 ， 即 。 设平面曲线L：， 所以，平面曲线L： 的曲率 。 当曲线由方程给出时，此时，利用上式， ，，，， 故曲率 。 曲率半径：若光滑曲线在点处的曲率为， 当时，称为曲线在处的曲率半径。 (平面曲线的情形，也有用几何图形给出的更方便直观的证法，见华东师大的书。) 例1、 求曲线的曲率的最大值。 解 由曲率的表达式 ， 从而得的最大值为。 例2、证明：若曲线的所有切线经过同一点，则该曲线是一条直线. 证明 证法一 设曲线的切线经过， 则有, 于是， ， 假若， 则， 再由， 得，矛盾， 所以 从而曲率， 故曲线必为一条直线. 证法二 设曲线为，为弧长参数;所有切线经过的点为， 则有， 从而, 由， 得与正交， 于是 因为 必有， 所以为一条直线. 例3 、 求椭圆 上曲率最大和最小点. 解 由于 . 由公式， 得 . 不妨设， 于是在(长轴端点)处曲率最大； 而在、(短轴端点)处曲率最小； 且. 例4、 由下述方程确定一条球面曲线： 给定曲线上的一点 求曲线在处的曲率. 解 曲线为 ; 由条件得; 再由,得 ; , ， ， ,, , 代入曲率公式 ， 计算, 得 . 例5、 设函数具有连续二阶偏导数，且，则等高线(为常数)的曲率为 . 解 设由所确定的隐函数为， 于是， 求导得， 从而， 再求导可得 ， 代入曲率公式 ， 计算得, ; 直接验证， 可知 ， ， ， 故有 .