重点：求导公式、一元二元函数极值、泰勒公式、方向导数与梯度、拉格朗日乘数法

一、函数

1、函数的基本知识

1、函数的概念：给定一个数集A，对A施加一个对应的法则/映射f，记做:f(A)，那 么可以得到另外一个数集B，也就是可以认为B=f(A)；那么这个关 系就叫做函数关系式，简称函数。
2、函数的三要素：定义域、值域、对应法则
3、对应关系：一一映射、多一映射、一多映射（隐函数）

2、基本函数

常数函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

（1）幂函数

特点：函数图像都经过（1,1）点

（2）指数函数

特点：函数图像都经过（0,1）点a > 1 递增，0 < a < 1 递减

（3）对数函数

特点：函数图像都经过（1,0）点a > 1 递增，0 < a < 1 递减（反函数原函数单调性相同）

（4）三角函数

1、正弦函数：对边比斜边
2、余弦函数：邻比斜
3、正切函数：对比邻 = sin x/cos x
4、余切函数：邻比对
5、正割函数、余割函数：余弦的倒数、正弦的倒数

（5）反三角函数

本质：由 正余弦值 求 角度
图像：正余弦等函数图像装置（y=x轴翻转）

3、函数常见的特性

1、有界性有界         |y| <= M有上界有下界
2、单调性单调区间：通过函数求导计算
3、奇偶性奇函数： 关于 0点 对称偶函数： 关于 y轴 对称
4、周期性最小正周期

4、反函数

1、函数拥有反函数的条件：函数必须一一映射
1、反函数的特点：① 图像关于y = x 轴对称，即相当于 xy轴 转置，反函数的值域是原函数的定义域 ③ 反函数与原函数单调性相同

5、复合函数

1、概念：基本初等函数的嵌套
2、要求：内部函数的值域区间被包含于外部函数的定义域区间
3、记做：如下图

二、极限

a点极限存在：a的左极限 = a的右极限时 = A ，a点极限值存在，且为A

1、极限的定义

（1）数列的极限

思想：求出 一个N值（通常会用到放大的思想）

（2）函数的极限

有限值 x0 时函数的极限

有限值 x0 时函数的左极限、右极限

趋于无穷大时函数的极限

趋于无穷大时函数的左极限、右极限

2、证明极限的两个法则

1、夹逼准则
2、单调有界必有极限

（1）夹逼准则

数列极限

函数极限

3、两个重要的极限：

4、无穷大与无穷小

特点：无穷小与无穷小是一个动态逼近的量

无穷小的阶数

三、导数

特点： ① 一元函数 $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(\Delta y/\Delta x)$ 存在（左右极限存在且相等），则函数可导、可微且为光滑的曲线。
② 多元函数：可偏导与连续之间没有联系，也就是说可偏导推不出连续，连续推不出可偏导。
多元函数中可微必可偏导，可微必连续，可偏导推不出可微，但若一阶偏导具有
连续性则可推出可微。
③ 二元里，可微级别高，可导+导连续→_→可微，可微→_→原连续，可微→_→该点可导，但是
可微推不出来导连续。并且二元里某点连续和某点可导谁也推不出谁。

1、导数的定义

2、导数的求导公式与运算法则

反函数求导

复合函数求导

高阶导数

一阶导数之后的导数都称作高阶导数

3、导数的运用

（1）函数的单调性与凹凸性

1、函数的单调性：一阶导数来判断；一阶导数大于零 递增，一阶导数小于零 递减
2、函数的凹凸性：二阶导数来判断；二阶导数大于零 下凹，二阶导数小于零 上凸
3、驻点：一阶导数 = 0 的点，驻点并非都是极值点，必须前后单调性发生变化
4、拐点：函数凹凸性发生变化的点（二阶导数 = 0 且该点两边数值异号的点）
5、导数趋势图像：法则：奇穿偶不穿（按照当前量的自变量的次数判断奇偶，由左边导数值的正负决定从上或者下开始）

例：

（2）函数极值与最值

函数极值

方法一：一阶导数 = 0 所有的驻点，判断驻点左右的单调性

方法二：一阶导数 = 0 所有的驻点，代入二阶导数（其实是高阶偶次导数）中判断其正负性；正数则函数图像下凹，极小值，复数则函数图像上凸，极大值。

例：

函数最值

方法：求出所有极值嫌疑点和闭区间端点值，最大的即最大值。

例：

（3）泰勒公式

Taylor(泰勒)公式是用一个函数在某点的信息描述其附近取值的一元n次多项式，它是一个近似值，因此有误差为Rn(x)

泰勒公式的具体写法：

麦克劳林公式（特殊，x0=0)

麦克劳林是泰勒公式的特殊情况，是在 x0 = 0 处的泰勒展开式

余项

常见的麦克劳林公式(对 x=0 进行展开) 展开式

四、多元函数

https://blog.csdn.net/qq_16555103/article/details/88251729 --------------- 多元函数

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高等数学的常见公式定理：

https://blog.csdn.net/Xiaotongbiji/article/details/79483580 ----------------- 高等数学基本公式及个人总结篇

https://blog.csdn.net/ahaotata/article/details/83992656 ------------------ 高等数学积分公式大全

https://wenku.baidu.com/view/19a66aeef8c75fbfc77db2bf.html ------------------ 高等数学积分公式大全

https://wenku.baidu.com/view/983d572a915f804d2a16c104.html

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