《普林斯顿微积分读本》笔记-第3章极限导论
第 3 章 极限导论
如果没有极限的概念,，那么微积分将不复存在。
- 对于极限是什么的一个直观概念；
- 左、右与双侧极限, 及在 ∞ 和 -∞ 处的极限；
- 何时极限不存在；
- 三明治定理(也称作“夹逼定理”)。
3.1 极限：基本思想
limx→af(x)=L\lim_{x\rightarrow a}f(x) = L x→alimf(x)=L
表示“当x趋于a，f(x)的极限等于L”。f(a)的值和该极限是不相关的，只有那些在x接近a时f(x)的值，而不是在a处的值，才是问题的关键。
变量x是一个虚拟变量，它是一个暂时的标记，用来表示某个（在上述情况下）非常接近于α的量。它可以被替换成其它任意字符，只要替换是彻底的；同样，当求出极限时，结果不可能包含这个虚拟变量。
3.2 左极限与右极限
limx→3−h(x)=1limx→3+h(x)=−2\lim_{x\rightarrow 3^{-}}h(x) = 1 \qquad \lim_{x\rightarrow 3^{+}}h(x) = -2 x→3−limh(x)=1x→3+limh(x)=−2
x -> 3- 表示该极限是个左极限，你需要在3上减一点点来看会有什么情况发生。x -> 3+ 表示该极限是个右极限，意味着你只需要考虑如果在3上加一点点会有什么情况发生。
limx→a−f(x)=L且limx→a+f(x)=L等价于limx→af(x)=L\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x) = L \quad 且 \quad \lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x) = L \quad 等价于 \quad \lim_{x\rightarrow a}f(x) = L x→a−limf(x)=L且x→a+limf(x)=L等价于x→alimf(x)=L
如果左极限和右极限不相等，例如上述例子中的函数h，那么双侧极限不存在。我们写作
limx→3h(x)不存在\lim_{x\rightarrow 3}h(x)不存在 x→3limh(x)不存在
或使用缩写“DNE”表示“不存在”。
3.3 何时不存在极限
当相应的左极限和右极限不相等时双侧极限不存在。
“f在x=a处有一条垂直渐近线”说的是，limx→a+和limx→a−，其中至少有一个极限是∞或−∞。“f 在 x=a 处有一条垂直渐近线” 说的是，\lim_{x\rightarrow a^{+}} 和 \lim_{x\rightarrow a^{-}}，其中至少有一个极限是∞ 或 -∞。 “f在x=a处有一条垂直渐近线”说的是，x→a+lim和x→a−lim，其中至少有一个极限是∞或−∞。
3.4 在∞和-∞处的极限
“f在y=L处有一条右侧水平渐近线”意味着limx→∞f(x)=L。“f 在 y=L 处有一条右侧水平渐近线”意味着 \lim_{x\rightarrow ∞}f(x) = L。 “f在y=L处有一条右侧水平渐近线”意味着x→∞limf(x)=L。
“f在y=M处有一条左侧水平渐近线”意味着limx→−∞f(x)=M。“f 在 y=M 处有一条左侧水平渐近线”意味着 \lim_{x\rightarrow -∞}f(x) = M。 “f在y=M处有一条左侧水平渐近线”意味着x→−∞limf(x)=M。
大的数和小的数的非正式定义：
- 如果一个数的绝对值是非常大的数，则这个数是大的；
- 如果一个数非常接近于0（但不是真的等于0），则这个数是小的。
当说一个数是“小的”（或者“接近于0”）时，必须结合某个函数或极限的语境来考虑，就像在“大的”情形中一样。
3.5 关于渐近线的两个常见误解
首先，一个函数不一定要在左右两边有相同的水平渐近线。
一个函数的确可以有不同的右侧和左侧水平渐近线，但最多只能有两条水平渐近线（一条在右侧，一条在左侧）。它也有可能一条都没有，或者只有一条。一个函数可以有很多条垂直渐近线。
另一个常见的误解是，一个函数不可能和它的渐近线相交。
3.6 三明治定理
三明治定理（又称作夹逼定理）说的是，如果一个函数f被夹在函数g和h之间，当x->a时，这两个函数g和h都收敛于同一个极限L，那么当x->a时，f也收敛于极限L。
如果对于所有在a附近的x都有g(x)≤f(x)≤h(x)，且limx→ag(x)=limx→ah(x)=L，则limx→af(x)=L。如果对于所有在a附近的x都有g(x)\le f(x) \le h(x)，且\lim_{x \rightarrow a}g(x)=\lim_{x \rightarrow a}h(x)=L，则\lim_{x \rightarrow a}f(x)=L。 如果对于所有在a附近的x都有g(x)≤f(x)≤h(x)，且x→alimg(x)=x→alimh(x)=L，则x→alimf(x)=L。
3.7 极限的基本类型小结
(1) 在x=a时的右极限，这时在x=a的左侧以及x=a处f(x)的行为是无关紧要的。
(2) 在x=a时的左极限，这时在x=a的右侧以及x=a处f(x)的行为是无关紧要的。
(3) 在x=a时的双侧极限。
(4) 在x->∞时的极限。
(5) 在x->-∞时的极限。
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