关于投资收益和风险的例题（线性规划）

本题选自1998年全国大学生数学建模竞赛A题

例:市场上有种资产(如股票、债券、……)si(i=1,2,...,n)供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买资产si的平均收益率为ri，并预测出购买si的风险损失率为qi。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的si中最大的一个风险来度量。

购买si要付交易费，费率为pi，并且当购买额不超过给定ui时，交易费按购买ui计算(不买当然无需付费)。另外，假定同期银行存款利率是r0(r0=5%),且既无交易费又无风险。

已知n=4时的相关数据如表所示。

问题分析

这是一个组合投资问题：已知市场上可供投资的n+1种资产的平均收益率、风险损失率以及购买资产时产生的交易费费率，设计一种投资组合方案，也就是要将可供投资的资金分成数量不等的n+1份分别购买n+1种资产。不同类型的资产的平均收益率和风险损失率也各不相同，因此在进行投资时，要同时兼顾两个目标：投资的净收益和风险。

符号说明

si：可供投资的第i种资产，i=0,1,2,...,n，其中s0表示存入银行；

xi:投资到资产si的资金数量，i=0,1,2,...,n，其中x0表示存到银行的资金数量；

ri：资产si的平均收益率，i=0,1,2,...,n;

qi：资产si的风险损失率，i=0,1,2,...,n，其中q0=0;

pi：资产si的交易费费率，i=0,1,2,...,n，其中p0=0;

ui：资产si的投资阈值，i=1,2,...,n。

模型假设

(1)可供投资的资金数额M相当大；

(2)投资越分散，总的风险越小，总体风险可用所投资的si中最大的一个风险来度量；

(3)可供选择的n+1种资产(含银行存款)之间是相互独立的；

(4)每种资产可购买的数量为任意值；

(5)在当前投资周期内，ri,qi,pi,ui(i=0,1,...,n)固定不变；

(6)不考虑在资产交易过程总产生的其他费用，如股票交易印花税等。

模型建立

(1)总体风险用所投资的si中最大的一个风险来衡量，即

max{qixi|i=1,2,...n}.

(2)购买si(i=1,2,...,n)所付交易费是一个分段函数，即

而题目所给的定值ui(单位：元)相对总投资M很少，piui更小，这样购买si的净收益可以简化为(ri-pi)xi。

目标函数：

约束条件：

模型简化：

①在实际投资中，投资者承担风险的程度不一样，若给定风险一个界限a，使最大的一个风险qixi/M≤a，可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成单目标的线性规划。

模型一：固定风险水平，优化收益。

②若投资者希望总盈利至少达到水平k以上，在风险最小的情况下寻求相应的投资组合。

模型二：固定盈利水平，极小化风险。

③投资者在权衡资产风险和预期两方面时，希望选择一个能令自己满意的投资组合。因此对风险、收益分别赋予权重w(0≤w≤1)和(1-w)，w称为投资偏好系数。

模型三：两个目标函数加权求和。

下面求解模型一和模型三，求解时不妨取M=10000元。

模型一的求解与分析

由于a是任意给定的风险度，到底怎样没有一个准则，不同的投资者有不同的风险度。我们从a=0开始，以步长是△a=0.001进行循环搜索，编制程序如下：

clc, clear, close all

prob=optimproblem('ObjectiveSense','max');

x = optimvar('x',5,1,'LowerBound',0);

c=[0.05,0.27,0.19,0.185,0.185]; %净收益率

Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065]; %等号约束矩阵

prob.Objective = c*x; M = 10000;

prob.Constraints.con1 = Aeq*x==M; %等号约束条件

q=[0.025,0.015,0.055,0.026]'; %风险损失率

a = 0; aa = []; QQ = []; XX = []; hold on

while a<0.05

prob.Constraints.con2 = q.*x(2:end)<=a*M;

[sol,Q,flag,out]= solve(prob);

aa = [aa; a]; QQ = [QQ,Q];

XX = [XX; sol.x']; a=a+0.001;

end

plot(aa, QQ, '*k')

xlabel('$a$','Interpreter','Latex'),

ylabel('$Q$','Interpreter','Latex','Rotation',0)

(2)结果分析

风险a与收益Q之间的关系见图。

从图中可以看出：

①风险大，收益也大。

②当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。

③在a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边风险增加很少时，利润增长很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润增加很缓慢，所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应选择曲线的转折点作为最优投资组合，大约是a=0.6%，Q=2000，所对应投资方案为

风险度a=0.006，收益Q=2019元，x0=0元，x1=2400元，x2=4000元，x3=1091元，x4=2212元。

模型三的求解及分析

(1)线性化

具体求解时，我们需要把目标函数线性化，引进变量xn+1=max{qixi}(1≤i≤n}，则模型可线性化为：

(2)求解及分析

可以得到当w取不同值时风险和收益的计算结果如表所示

从以上数据可以看出，当投资偏好系数w≤0.7时所对应的收益和风险均达到最大值。此时，收益为2673.27元，风险为247.52元，全部资金均用来购买资产si；当w由0.7增加到1.0时，收益和风险均呈下降趋势，特别，当w=1.0时，收益和风险均达到最小值，收益为500元，风险为0，此时应将所有资金全部存入银行。

为更好地描述收益与风险的对应关系，可将w的取值进一步细化，重新计算的部分数据如表所示

绘制收益和风险的函数关系图像如图所示

从图可以看出，投资的收益越大，风险也越大。投资者可以根据自己对风险喜好的不同，选择合适的投资方案。曲线的拐点坐标约为（59.4，2016.24），此时对应的投资方案是购买资产s1、s2、s3、s4的资金分别为2375.84元、3959.73元、1079.93元和2284.46元，存入银行的资金为0元，这对于风险和收益没有明显偏好的投资者是一个比较合适的选择。

clc, clear, close all, format long g

M =10000; prob = optimproblem;

x = optimvar('x',6,1,'LowerBound',0);

r=[0.05,0.28,0.21,0.23,0.25]; %收益率

p=[0, 0.01, 0.02, 0.045, 0.065]; %交易费率

q=[0, 0.025, 0.015, 0.055, 0.026]'; %风险损失率

%w = 0:0.1:1

w = [0.766, 0.767, 0.810, 0.811, 0.824, 0.825, 0.962, 0.963, 1.0]

V = []; %风险初始化

Q = []; %收益初值化

X = []; %最优解的初始化

prob.Constraints.con1 = (1+p)*x(1:end-1)==M;

prob.Constraints.con2 = q(2:end).*x(2:end-1)<=x(end);

for i = 1:length(w)

prob.Objective = w(i)*x(end)-(1-w(i))*(r-p)*x(1:end-1);

[sol,fval,flag,out]=solve(prob);

xx = sol.x; V=[V,max(q.*xx(1:end-1))];

Q=[Q,(r-p)*xx(1:end-1)]; X=[X; xx'];

plot(V, Q, '*-'); grid on

xlabel('风险（元）'); ylabel('收益（元）')

end

V, Q, format

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