UVa1543.圆和多边形+UVa12063.零和一（动态规划）

两道都是刘汝佳《算法竞赛入门经典第二版》的课后习题

1.UVa1543.圆和多边形

题目链接：https://vjudge.net/problem/UVA-1543

题目大意：刘汝佳紫书307页习题9-14

思路：

dp(i,j,k)表示在第i~j个点中选择k个点构成多边形的最大面积，那么这个题就像一个类区间dp的方法，我们枚举中间点x，那么有

dp[i][j][k]=max(dp[i][j][k],dp[i][x][k-1]+area[i][x][j]);

其中area[i][x][j]表示枚举中间点x后，x 与端点i,j形成的三角形的面积

所以预处理所有三角形的面积，转移的时候注意点数大于等于3

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=40+10;
const double pi=acos(-1);
int n,m;
double pos[maxn];
struct Point{double x,y;Point(double x=0,double y=0):x(x),y(y){}
};
Point p[maxn];
double dp[maxn][maxn][maxn];//第i~j个中选择k个的最大多边形面积
double area[maxn][maxn][maxn];
double get_distance(Point a,Point b){return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
double get_area(Point a,Point b,Point c){double ans=0.0;double lenab=get_distance(a,b);double lenbc=get_distance(b,c);double lenac=get_distance(a,c);double pp=(lenab+lenbc+lenac)/2;return sqrt(pp*(pp-lenab)*(pp-lenbc)*(pp-lenac));
}
void init(int n){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=i+1;j<=n;j++){for(int k=j+1;k<=n;k++){area[i][j][k]=get_area(p[i],p[j],p[k]);}}}
}
signed main(){while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&n&&m){for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lf",&pos[i]);double rec=pos[i]*2*pi;rec-=pi/2;p[i].x=1.0*sin(rec),p[i].y=1.0*cos(rec);//printf("debug %lf %lf\n",p[i].x,p[i].y);}init(n);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){for(int k=1;k<=n;k++){dp[i][j][k]=0.0;}}}for(int k=3;k<=m;k++){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=i+1;j<=n;j++){if(j-i+1<3)continue;for(int x=i+1;x<j;x++){dp[i][j][k]=max(dp[i][j][k],dp[i][x][k-1]+area[i][x][j]);}}}}double ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=i+1;j<=n;j++){ans=max(ans,dp[i][j][m]);}}printf("%.6lf\n",ans);}return 0;
}

2.UVa12063.零和一

题目链接：https://vjudge.net/problem/UVA-12063

题目大意：刘汝佳紫书P345页习题10-15

思路：

因为是二进制的，只有0和1，而只有当一位为1时对答案才可能有贡献，所以我们看有多少位1就好了。

dp(i,j,t)表示前i为有j个1，它的值%k==t的方案数，那么我们枚举第i+1位的所有情况时，有

dp(i+1,j,t)+=dp(i,j,t)，表示第i+1位的值为0，明显i+1!=n，否则有前导0；

dp(i+1,j+1,(t+(1<<i))%k)+=dp(i,j,t)，表示第i+1位为1

枚举一下i,j,t就好了

注意n为奇数的时候

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;const int maxn=100+10;
int dp[maxn][maxn][maxn];
void init(int n,int k){for(int i=0;i<maxn;i++){for(int j=0;j<maxn;j++){for(int x=0;x<maxn;x++){dp[i][j][x]=0;}}}
}int pow_mod(int a,int p,int n){if(p == 0)  return 1;int ans = pow_mod(a,p/2,n);ans = ans * ans % n;if(p%2 == 1)    ans = ans * a % n;return ans;
}signed main(){int n,k;int T;scanf("%lld",&T);int inx=0;while(T--){scanf("%lld%lld",&n,&k);init(n,k);dp[0][0][0]=1;for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<=i;j++){for(int t=0;t<k;t++){if(i+1!=n){dp[i+1][j][t]+=dp[i][j][t];}int tmp = pow_mod(2,i,k);int mod = (tmp+t) % k;dp[i+1][j+1][mod]+=dp[i][j][t];}}}if(n&1){printf("Case %lld: 0\n",++inx);}else{printf("Case %lld: %lld\n",++inx,dp[n][n/2][0]);}}}