差分方程
Z变换
脉冲传递函数
计算机控制系统的响应

文章目录

差分方程
- 基础知识
- 差分方程的解
Z变换
- 定义与性质
- 求Z变换
- - Z变换表
- 求Z反变换
- 用Z变换解差分方程
脉冲传递函数
- 脉冲传递函数与差分方程的相互转化
- 开环脉冲传递函数
- 闭环脉冲传递函数
计算机控制系统的响应

差分方程

基础知识

几种不同的差分：

前向差分和后向差分没有本质区别，在控制系统中一般用后向差分。

在连续系统中，用微分方程来描述系统的运动。而在离散系统，则使用差分方程：

差分方程是确定时间序列的方程，因为可以通过递推迭代的方法，用前项求后项：

离散系统的差分方程标准形式：(注意各系数的下标)

差分方程的解

解分为通解和特解。通解是与方程初始状态有关的解。特解是与外部输入有关的解。

解的求法：

求解特征方程，得到特征根：

n个单根 r 1 , r 2 , r 3 , ⋯ , r n r_1, r_2, r_3, \cdots, r_n r1,r2,r3,⋯,rn，则通解
y ( k ) = c 1 r 1 k + c 2 r 2 k + ⋯ + c n r n k y(k)=c_1 r_1^k+ c_2r_2^k+\cdots+c_nr_n^k y(k)=c1r1k+c2r2k+⋯+cnrnk
解 r r r为 m m m重根，其他为单根 r 1 , r 2 , r 3 , ⋯ , r n r_1, r_2, r_3, \cdots, r_n r1,r2,r3,⋯,rn，则通解：
y ( k ) = c 11 r k + c 12 k r k + ⋯ + c 1 m k m − 1 r k + c 1 r 1 k + c 2 r 2 k + ⋯ + c n r n k y(k)=c_{11} r^k+ c_{12}kr^k+\cdots+c_{1m}k^{m-1}r^k+c_1 r_1^k+c_2r_2^k+\cdots+c_nr_n^k y(k)=c11rk+c12krk+⋯+c1mkm−1rk+c1r1k+c2r2k+⋯+cnrnk

其中各系数根据初始条件来求：

对于后向差分，步骤类似：

Z变换

定义与性质

注意：

先采样，然后才有Z变换。多个不同的 f ( t ) f(t) f(t)，如果采样后 f ∗ ( t ) f^*(t) f∗(t)相同，则Z变换相同
z − 1 z^{-1} z−1代表信号滞后一个采样周期，可以称为单位延迟因子
书写时T可以省略，写作 F ( z ) = ∑ k = 0 ∞ f ( k ) z − k F(z)=\sum_{k=0}^{\infty}f(k)z^{-k} F(z)=∑k=0∞f(k)z−k

性质：
这里只涉及一部分常用的性质。

线性性质
Z [ a f ( k T ) + b g ( k T ) ] = a F ( z ) + b G ( z ) Z[af(kT)+bg(kT)]=aF(z)+bG(z) Z[af(kT)+bg(kT)]=aF(z)+bG(z)
实位移定理
- 右位移： Z [ f ( k T − n T ) ] = z − n F ( z ) Z[f(kT-nT)]=z^{-n}F(z) Z[f(kT−nT)]=z−nF(z)
- 左位移： Z [ f ( k T + n T ) ] = z n [ F ( z ) − ∑ k = 0 n − 1 f ( k T ) z − k ] Z[f(kT+nT)]=z^n[F(z)-\sum_{k=0}^{n-1} f(kT)z^{-k}] Z[f(kT+nT)]=zn[F(z)−∑k=0n−1f(kT)z−k]
  - n=1: Z [ f ( k T + T ) ] = z [ F ( z ) − f ( 0 ) ] Z[f(kT+T)]=z[F(z)-f(0)] Z[f(kT+T)]=z[F(z)−f(0)]
  - n=2: Z [ f ( k T + 2 T ) ] = z 2 [ F ( z ) − f ( 0 ) − f ( T ) z − 1 ] Z[f(kT+2T)]=z^2[F(z)-f(0)-f(T)z^{-1}] Z[f(kT+2T)]=z2[F(z)−f(0)−f(T)z−1]
复位移定理
Z [ e ∓ a t f ( k T ) ] = F ( z e ± a T ) Z[e^{\mp at}f(kT)]=F(ze^{\pm aT}) Z[e∓atf(kT)]=F(ze±aT)
初值定理
如果极限 lim ⁡ z → ∞ F ( z ) \displaystyle\lim_{z \to \infty} F(z) z→∞limF(z)存在，则有 f ( 0 ) = lim ⁡ z → ∞ F ( z ) \displaystyle f(0)=\lim _{z\to\infty} F(z) f(0)=z→∞limF(z)
终值定理
设系统稳定，则 lim ⁡ k → ∞ f ( k T ) = lim ⁡ z → 1 ( 1 − z − 1 ) F ( z ) = lim ⁡ z → 1 ( z − 1 ) F ( z ) \displaystyle \lim_{k\to \infty}f(kT)=\lim_{z\to1}(1-z^{-1})F(z)=\lim _{z\to 1}(z-1)F(z) k→∞limf(kT)=z→1lim(1−z−1)F(z)=z→1lim(z−1)F(z)

求Z变换

级数求和法
即用定义硬算。

注意级数求和要附加收敛条件。
部分分式展开法
即先分解，然后查表，再通过线性性质得出Z变换

Z变换表

求Z反变换

长除法（幂级数展开法）
简单易行，但因为难以找出规律，所以一般只用来计算前几项。
步骤：分式除法，得到z的降幂序列。利用实位移性质写出对应的f(t)

写成 f ( k T ) f(kT) f(kT)序列形式和 f ∗ ( t ) f^*(t) f∗(t)时域函数形式都可以。注意省略号不要丢了。
部分分式展开法
先分解，后查表。

两个注意的地方：
1.先除z，再进行计算。
2.注意k的取值范围，选取原则是 e − a k T e^{-akT} e−akT是滞后的而不是超前的（非正幂）
留数计算法
f ( k T ) = ∑ i = 1 n Res [ F ( z ) z k − 1 ] z → p i \displaystyle f(kT)=\sum_{i=1}^n \text{Res} [F(z)z^{k-1}]_{z\to p_i} f(kT)=i=1∑nRes[F(z)zk−1]z→pi

即 F ( z ) F(z) F(z)的z反变换等于 [ F ( z ) z k − 1 ] [F(z)z^{k-1}] [F(z)zk−1]在各个极点处留数之和。
例题：

用Z变换解差分方程

这个和用Laplace变换解微分方程是同样的思路。

脉冲传递函数

零初始条件下，线性定常系统，输出采样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比，称为该系统的脉冲传递函数，或称Z传递函数
G ( z ) = C ( z ) R ( z ) \displaystyle G(z)=\frac{C(z)}{R(z)} G(z)=R(z)C(z)

注意：

先采样才有Z变换。因此要求输入、输出信号都为采样后信号。输出允许没有采样开关，但列写传递函数时必须设置虚拟采样开关，才能求出Z变换
传递函数与输入信号无关，但与采样周期有关

脉冲传递函数的求法：

求系统脉冲响应，即为 G ( s ) G(s) G(s)，求出： g ( t ) = L − 1 [ G ( s ) ] g(t)=\mathscr{L}^{-1}[G(s)] g(t)=L−1[G(s)]
采样： g ∗ ( t ) = ∑ k = 0 ∞ g ( k T ) δ ( t − k T ) g^*(t)=\sum_{k=0}^{\infty}g(kT)\delta(t-kT) g∗(t)=∑k=0∞g(kT)δ(t−kT)
Z变换： G ( z ) = Z [ g ∗ ( t ) ] = ∑ k = 0 ∞ g ( k T ) z − k G(z)=Z[g^*(t)]=\sum_{k=0}^{\infty}g(kT)z^{-k} G(z)=Z[g∗(t)]=∑k=0∞g(kT)z−k

脉冲传递函数与差分方程的相互转化

开环脉冲传递函数

闭环脉冲传递函数

采样开关在误差通道：
一般情况
很多情况下，因为R没有采样，被合并到其他地方先串连再Z变换，变成RG的形式，无法写出C/R的函数，所以改为写输出的函数。

这里注意，开环传函的列写，从某个采样开关开始，按照回路依次列写，直到回到这个采样开关。不必从R开始。

计算机控制系统的响应

其实本质就是Z反变换

这里得到的输出的采样值。

如果想要得到输出值，可以采取如下的方法：
Y ( s ) = G ( s ) E ∗ ( s ) = G ( s ) R ∗ ( s ) 1 + G F ∗ ( s ) y ( t ) = L − 1 [ Y ( s ) ] \begin{aligned} Y(s)=&G(s)E^*(s)\\ =&G(s)\frac{R^*(s)}{1+GF^*(s)}\\ y(t)=& \mathscr{L}^{-1}[Y(s)] \end{aligned} Y(s)==y(t)=G(s)E∗(s)G(s)1+GF∗(s)R∗(s)L−1[Y(s)]

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