过河问题（图、BFS）

描述：

原题：3只羊和3只狮子过河，有1艘船只能容纳2只动物，当河岸上狮子数大于羊数，羊就会被吃掉，找到运输方法，让所有动物都过河。

类似推广：野人传教士过河；羊狼过河；有些问题描述时会加一个农夫（渡船人），但农夫往往不是影响因素。

思路：

看到类似问题，想到状态搜索，搜索方式一般有两种：DFS和BFS，其都是对所有状态的一种搜索，直到搜索到目标状态

定义状态：
1）题目意思是，原来岸边有3狮3羊，最后要安全渡河，变成0狮0羊，那么状态必有狮子数和羊数；
2）什么导致状态发生变化，是用船运送，那船在此岸还是彼岸？一开始船肯定在此岸，最后运输完成后，船必然是在彼岸，故船在哪个岸应该也要作为状态；
于是，定义状态state:

state = (m, n, k)
m: 羊数，0 <= m <= 3
n: 狮子数，0 <= n <= 3
k: 船在哪个岸，k = {0, 1}, 1表示在A岸（也就是此岸）；0表示在B岸（也就是在彼岸）

那么，最终就是搜索A岸从（3，3，1）—> （0，0，0）
注：理论上可能的状态一共有32种，即 4 * 4 * 2 = 32

定义决策（让状态发生变化的行为）：
根据题意，船运输的羊和狮子的数量满足：
1）总数不超过2：m + n <= 2
2）羊数不小于狮子数：m >= n
那么，策略一共有以下5种：

(1，0)， (0，1)， (1，1)， (2，0)， (0，2)

例如，（1，0）表示运输羊1只狮子0只

BFS
就是从当前状态开始，遍历所有可能的决策，进行状态跳转，如下图：

1）搜索在向广度拓展，所以是典型的BFS搜索（如果是DFS，就是向深度拓展）；
2）可以根据记忆（空间换时间），将已经发现过的状态剪枝，不重复搜索；
3）判断状态是否合法：

A岸和 B岸的狮子数不大于羊数；
A岸或 B岸的狮子数或羊数不能超过边界；

4）根据船在A岸还是B岸，修改状态跳转逻辑：

船在A岸，则A岸狮子、羊的数量减少，B岸狮子、羊的数量增加；
船在B岸，则A岸狮子、羊的数量增加，B岸狮子、羊的数量减少；

show the code

以下是python编写的算法，基于pythonds包
详细可看注释，个人认为还是比较清晰的

from pythonds.graphs import Graph
from pythonds.basic import Queue
def solution():'''3只羚羊和3只狮子过河问题:1艘船只能容纳2只动物当河岸上狮子数大于羚羊数，羚羊就会被吃掉找到运输方法，让所有动物都过河'''# 定义合法的运输操作(i, j) , 例如(1, 0)表示运送羚羊1只，狮子0只opt = [(1, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 0), (0, 2)]# 定义状态state(m, n, k), m表示羚羊数，n表示狮子数，k表示船在此岸还是彼岸# stateA 表示A岸（此岸）的状态；stateB 表示B岸（彼岸）的状态；# 初始状态stateA = (3, 3, 1)stateB = (0, 0, 0)# BFS搜索mygraph = Graph()myqueue = Queue()myqueue.enqueue((stateA, stateB))sequence = []  # 剪枝记录（最后发现，有效状态只有15种）sequence.append((stateA))while True:stateA, stateB = myqueue.dequeue()if stateA == (0, 0, 0):breakfor o in opt:# 一次从某岸到另一岸的运输if stateA[2] == 1:stateA_ = (stateA[0] - o[0], stateA[1] - o[1], stateA[2] - 1)stateB_ = (stateB[0] + o[0], stateB[1] + o[1], stateB[2] + 1)else:stateB_ = (stateB[0] - o[0], stateB[1] - o[1], stateB[2] - 1)stateA_ = (stateA[0] + o[0], stateA[1] + o[1], stateA[2] + 1)# 运输后if stateA_[0] and stateA_[0] < stateA_[1]:  # 此岸在有羊的情况下，如果狼大于羊，则吃掉continueelif stateB_[0] and stateB_[0] < stateB_[1]:  # 彼岸在有羊的情况下，如果狼大于羊，则吃掉continueelif stateA_[0] < 0 or stateA_[0] > 3 or stateA_[1] < 0 or stateA_[1] > 3:  # 边界continueelse:# 剪枝if stateA_ in sequence:continueelse:sequence.append(stateA_)myqueue.enqueue((stateA_, stateB_))mygraph.addEdge(stateA, stateA_, o)return mygraph, sequence
if __name__ == '__main__':g, sq = solution()# 建立父子关系for v_n in sq:v = g.getVertex(v_n)for nbr in v.getConnections():if nbr.getColor() == 'white':nbr.setPred(v)nbr.setColor('gray')v.setColor('black')target = g.getVertex(sq[-1])# 回溯，显示决策路径while target.getPred():predv = target.getPred()print(target.id, '<--', predv.getWeight(target), '--', predv.id)target = predv

编译结果：

(0, 0, 0) <-- (1, 1) -- (1, 1, 1)
(1, 1, 1) <-- (1, 0) -- (0, 1, 0)
(0, 1, 0) <-- (0, 2) -- (0, 3, 1)
(0, 3, 1) <-- (0, 1) -- (0, 2, 0)
(0, 2, 0) <-- (2, 0) -- (2, 2, 1)
(2, 2, 1) <-- (1, 1) -- (1, 1, 0)
(1, 1, 0) <-- (2, 0) -- (3, 1, 1)
(3, 1, 1) <-- (0, 1) -- (3, 0, 0)
(3, 0, 0) <-- (0, 2) -- (3, 2, 1)
(3, 2, 1) <-- (1, 0) -- (2, 2, 0)
(2, 2, 0) <-- (1, 1) -- (3, 3, 1)

查看sequence后，可以发现，BFS搜索的有效状态其实只有15种，然而在其他博客中（以下）描述有16种有效状态，其中，A岸状态**（0，1，1）**是唯一的不同，why?

sequence记录的状态如下：

(3, 3, 1)
(3, 2, 0)
(2, 2, 0)
(3, 1, 0)
(3, 2, 1)
(3, 0, 0)
(3, 1, 1)
(1, 1, 0)
(2, 2, 1)
(0, 2, 0)
(0, 3, 1)
(0, 1, 0)
(1, 1, 1)
(0, 2, 1)
(0, 0, 0)

原因：BFS搜索到（0，0，0）就停止了，而（0，1，1）是（0，0，0）的跳转状态，所采取的动作为（0，1），即从B岸又送了一只狮子过来，所以理论上这个状态是合法的，但实际搜索时是搜不到的。

参考博客：

https://www.cnblogs.com/guanghe/p/5485800.html