三牛三虎过河问题--图的最短路径dijkstra算法--简单的Python实现

问题：三头牛三只虎要过河，船需要一只动物来划，另外至多还能载一物，而只有一头牛和一只虎会划船，并且当虎的数量多于牛的数量时，虎要吃牛，请设计一个安全渡河方案，并使渡河次数尽量少。

我们用一个数组来表示起点动物的状态，数组中元素为0表示此动物在起点，为1表示此动物不在起点（也就是在终点）

数组描述：[牛一，牛二，牛三，虎一，虎二，虎三]

例如：最开始时状态为 000000 （六只动物全部在起点）

结束状态：111111（六只动物全部到达终点）

那么这是一个求无权有向图的最短路径的问题，图的每个节点就是一个状态（此状态必须为有效状态），也就是说我们要从求起始节点（000000）到终点（111111）的路径

思路：

这是一个有向图，首先我们就要把这个图建出来，第一步就是找到所有节点（有效状态），我们定义一个find_all_valid_status函数来实现此功能：穷举法+判断是否合法（写一个judge_status_valid函数来实现），遍历000000->000001->000010->000011-> ··· ->111111，判断每个状态是否合法，如果合法就将此状态加入valid_status
第二，思考如何状态转移，由于只有一头牛和一头虎会划船，我们假设牛一和虎一会划船。于是定义一个状态转移数组translation，里面存储了11个合法转移方式，例如 100000表示牛一过河、 100100表示牛一和虎一过河、 001100表示牛三和虎一过河

然后如何通过这个状态转移数组来进行状态转移呢？这里使用异或运算，举个例子：
```
当前状态为100010，
起点：牛2，牛3 ，虎1，虎3                                      终点：牛1，虎2
我们要进行010100的状态转移（就是让牛2和虎1过河），那么就是 100010 ^ 010100 = 110110
起点：牛3，虎3                                                           终点：牛1，牛2，虎1，虎2
这样是不是就成功让牛2和虎1过河了
```
我们知道了这个图的所有节点，并且知道了如何状态转移（就能求出这些节点之间的边），那么就能把这个图建出来。这里调用了Python的Graph库中的dijkstra，掩盖了dijkstra算法和建图的细节，写起来更简便

from dijkstar import Graph, find_path
import numpy as npnames = np.array(['牛一', '牛二', '牛三', '虎一', '虎二', '虎三'])
translation = [[1, 0, 0, 0, 0, 0],[1, 1, 0, 0, 0, 0],[1, 0, 1, 0, 0, 0],[1, 0, 0, 1, 0, 0],[1, 0, 0, 0, 1, 0],[1, 0, 0, 0, 0, 1],[0, 0, 0, 1, 0, 0],[0, 1, 0, 1, 0, 0],[0, 0, 1, 1, 0, 0],[0, 0, 0, 1, 1, 0],[0, 0, 0, 1, 0, 1]]
translation = np.array(translation)graph = Graph()
valid_status = []
def judge_status_valid(status)->bool:   #判断一个状态是否合法cattles=0   //用来统计起点牛的数量tigers=0  //用来统计起点虎的数量for i in range(0, 3):if  status[i] == 0:cattles += 1for i in range(3, 6):if status[i] == 0:tigers += 1if  cattles == 3 or cattles == 0 or cattles == tigers:  //根据起点虎和牛的数量来判断状态是否合法return Truereturn Falsedef find_all_valid_status():for i in range(0, 64):               #相当于从000000遍历到111111status = bin(i)[2:]                        #这里是一个二进制字符串status = status.rjust(6, '0')      #控制二进制位数为6位status = list(map(int, status))           #将字符串转换为列表global valid_statusif  judge_status_valid(status):valid_status.append(status)valid_status = np.array(valid_status)    #将有效状态的数组转换为numpy的数组类型def status_transfer(orgin_status, transfer_mode):          #进行状态转移arr = []for i in range(len(orgin_status)):arr.append(orgin_status[i] ^ transfer_mode[i])  #异或运算得到下一个状态arr = np.array(arr)return arrdef build_graph():for status in valid_status:for transfer in translation:locations_1 = np.argwhere(transfer == 1).squeeze()  #降维处理#print(locations_1)#print(type(locations_1))if  locations_1.size==1 or  status[locations_1[0]] == status[locations_1[1]]:next_status = status_transfer(status, transfer)          #进行状态转移之后，下一个状态vertex1 = int(np.argwhere((valid_status==status).all(axis=1)))       #查找status在valid_status中的位置，用位置索引作为图的顶点vertex2 = np.argwhere((valid_status==next_status).all(axis=1))if vertex2.size != 0:vertex2 = int(vertex2)#print("vertex=", vertex2, "   ", vertex2.size)graph.add_edge(vertex1, vertex2, 1)    #建立从顶点vertex1到vertex2的边,边长默认为1（每条边的边长为1，就相当于无权图了）def show_status(status):         #根据当前状态数组打印出状态for i in range(status.size):if  status[i] == 0:print(names[i], end="")print("  |  ", end="");for i in range(status.size):if status[i] == 1:print(names[i], end="")def transfer_object(status1, status2):print("           下一步转移对象：", end="");flag = 0for i in range(status1.size):if status1[i] != status2[i]:print(names[i], end=' ')flag = status1[i]if  flag==0:print("从起点到终点", end=" ")else:print("从终点到起点", end=" ")        def show_how_to_transfer(shortest_path):    #打印转移过程for i in range(0, len(shortest_path)-1):#print(valid_status[path], type(valid_status[path]), valid_status[path].size)#根据当前状态和下一个状态确定转移对象path1 = valid_status[shortest_path[i]]         #当前状态path2 = valid_status[shortest_path[i+1]]    #下一个状态show_status(path1)transfer_object(path1, path2)print()show_status(valid_status[shortest_path[-1]])print()find_all_valid_status()     #找到所有有效状态
build_graph()           #建立图#一共有34个有效状态，那么就是求从起点0到终点33的最短路径
shortest_paths = find_path(graph, 0, 33)   #用dijkstar算法求最短路径
print("最短路径：", shortest_paths.nodes)
show_how_to_transfer(shortest_paths.nodes)

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