图论 Warshall 和Floyd 矩阵传递闭包

首先我们先说下图论，一般图存储可以使用邻接矩阵，或邻接表，一般使用邻接矩阵在稠密图比较省空间。

我们来说下有向图，一般的有向图也是图，图可以分为稠密图，稀疏图，那么从意思上，稠密图就是点的边比较多，稀疏图就是边比较少的图。为什么稠密图放在矩阵比较省空间，因为邻接表在边之间存储需要多余的指针，而矩阵不需要。

下面这张图：http://blog.csdn.net/tham_/article/details/46048063

我们只说有向图，我们把有向图存在矩阵

我们先说Warshall，假如我们有一张图

我们把这张图存储在矩阵

首先是a，a可以直接到b，那么ab就是1
接着就是b，b可以直接到c，那么bc就是1

Warshall	a	b	c	d	e
a	0	1	0	0	0
b	0	0	1	0	0
c	0	0	0	1	0
d	1	0	0	0	1
e	0	0	0	0	0

那么Warshall怎么做，他需要做个十字形，因为有个定理，

Rij=Rik∪Rkj

R_{ij} = R_{ik} \cup R_{kj}

其中ijk都是从0到n，这里n是点个数

那么我们得到的第一个矩阵，叫做

R^0
那么由第一个矩阵变化出第二个矩阵就叫

R^1
然后一直到n，这里n是点个数

如何变化，其实很简单，做个十字，这里说的十字是

那么我们第一个公式就可以来

我们选择一个点

如果在十字两个都是1，那么这个点也就改为1，因为图里只有一个点可以修改，所以修改完就是

R^1

接着我们把十字修改

那么发现有两个点，加粗db是上次修改的

我们可以发现ac和dc都是可以修改

那么继续修改

修改后

Warshall	a	b	c	d	e
a	1	1	1	1	1
b	1	1	1	1	1
c	1	1	1	1	1
d	1	1	1	1	1
e	0	0	0	0	0

因为我们从a到d都是可以到达，所以都为1，因为存在d可以到e，所以所有点都可以到e，因为e本身没有到任何点，所以为0

那么Floyd是什么，其实就是把原先的矩阵1改为数字

Floyd是可以算图中任意两个点的最短路径

那么说道这，我们需要带权有向图

带权就是两个点之间的边有个权，放在矩阵就是可以相连的两个点之间的ij为权

Warshall	a	b	c	d	e
a	0	5	∞ \infty	∞ \infty	∞ \infty
b	∞ \infty	0	2	∞ \infty	∞ \infty
c	∞ \infty	∞ \infty	0	1	∞ \infty
d	6	15	∞ \infty	0	1
e	∞ \infty	∞ \infty	∞ \infty	∞ \infty	0

我们和之前Warshall一样做十字，然后判断是得到

Rij=min{Rij,Rik+Rkj}

R_{ij}=min\{R_{ij},R_{ik}+R_{kj}\}

那么这样就可以得到任意两点路径

算法复杂

O(n3)

O(n^3)

在Warshall是判断两个都为1，修改，Floyd判断两个加起来的值比当前的小，修改

和Warshall一样全部修改就是两个点之间最短距离。

为

∞

\infty修改如果加上一个数还是

∞

\infty
任意一个数字小于

∞

\infty所以只要存在数字就可以修改

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