【成像】【6】太赫兹光学——理想光学系统的高斯波束传输

前言

高斯光束~~

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前言
太赫兹光学
理想光学系统中的高斯波束传输
- 简单高斯波束模型
- - 1.傍轴波动方程
  - 2.共聚焦距离（瑞利范围）
  - 3.波束偏振
- 聚焦高斯波束：简单光学系统
- - 重聚焦元件？
  - 束腰与成像
  - 高斯光束望远镜
- 一般光学系统中的ABCD矩阵（常用）
- - ABCD与高斯波束
  - ABCD矩阵的例子

太赫兹光学

100GHz∼10THz=10′000GHz100GHz\sim 10THz=10'000GHz100GHz∼10THz=10′000GHz

3mm∼30μm3mm\sim 30 \mu m3mm∼30μm （一百倍）

有的说是300GHz∼3THz（1mm∼100μm）300GHz\sim3THz（1mm\sim 100\mu m）300GHz∼3THz（1mm∼100μm）（十倍）

这一没被开发过的电磁频谱被称为太赫兹空隙

宇宙大爆炸大多数辐射频率都在太赫兹空隙中
——到达地球被水蒸气吸收

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不同于传统光学

太赫兹辐射常常被当做自由空间波束进行传输和分析

太赫兹光束直径可能只有几个波长，而且衍射效应也更加明显

对于可见光而言，波长对于器件和波束尺寸来说微不足道
用于无线电和微波系统的物理光学，虽然准确但是计算速度慢，效率低
大部分情况用高斯波束模型分析太赫兹

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理想光学系统中的高斯波束传输

高斯波束建模最初为了处理激光束传播的问题

这是基于电磁场传播模型的技术

也适用于无法忽略衍射效应的小型光学系统（准光学系统）

简单高斯波束模型

高斯波束模型就是傍轴近似波动方程的解
——模型分布形式，比如光强III分布，不随传播变化

假设有一个单色空间，相干波束准平行传播，这样的傍轴光束有明确的传播方向，在有限的横向范围内进行定义（比如非无限平面波）

则，复杂电场E分量满足时间独立的波动方程

∇2E+k2E=0,k=ω/c=2π/λ\nabla^2E + k^2 E = 0 \qquad , \quad k=\omega/c=2\pi/\lambda ∇2E+k2E=0,k=ω/c=2π/λ

我们只求z方向传播的傍轴近似解

这类波束x,y方向上的振幅在数个波长内逐渐变化，z方向的变换由e−jkze^{-jkz}e−jkz决定

E(x,y,z)=u(x,y,z)e−jkzE(x,y,z)=u(x,y,z)e^{-jkz}E(x,y,z)=u(x,y,z)e−jkz

∇2u−2jk∂u∂z=0\nabla^2 u - 2 jk\frac{\partial u}{\partial z} = 0∇2u−2jk∂z∂u=0

u(x,y,z)u(x,y,z)u(x,y,z)只能随z变化在多个波长内缓慢变化
∣∂2u∂z2∣≪∣k∂u∂z∣\left| \frac{\partial ^2 u}{\partial z^2} \right| \ll \left| k\frac{\partial u}{\partial z} \right|∣∣∣∣∂z2∂2u∣∣∣∣≪∣∣∣∣k∂z∂u∣∣∣∣

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1.傍轴波动方程

产生傍轴波动方程（描述了u在x,y（横向）和z（轴向）方向的变化）

∂2u∂x2+∂2u∂y2−2jk∂u∂z=0\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} - 2 j k \frac{\partial u}{\partial z} = 0∂x2∂2u+∂y2∂2u−2jk∂z∂u=0

得到一个u的解
u(x,y,z)=u0q0+zexp(−jk(x2+y2)2(q0+z))u(x,y,z)= \frac{u_0}{q_0 + z} exp({- j \frac{k(x^2+y^2)}{2(q_0 + z)}})u(x,y,z)=q0+zu0exp(−j2(q0+z)k(x2+y2))

其中u0，q0u_0，q_0u0，q0为常数

当z=0z=0z=0，有q0=jkW02/2q_0 = jkW_0^2/2q0=jkW02/2
——q0q_0q0是纯虚数，所以u∝exp(−x2+y2W02)u\propto exp(- \dfrac{x^2 + y^2}{W_0^2})u∝exp(−W02x2+y2)
此时是一个高斯形式的密度谱，振幅波束半径W0W_0W0包含1/e 和平面相前？
当波传播到z≠0z\ne 0z=0，有u中指数项的(x2+y2)(x^2+y^2)(x2+y2)既有实部又有虚部，离轴横向距离取平方？

可以获得球面波前的傍轴近似

EG(x,y,z)=2πW2(z)exp[−x2+y2W2(z)−jk(z+x2+y22R(z))+jϕ0(z)]E_{G(x,y,z)} = \sqrt{\frac{2}{\pi W^2(z)}} exp[ - \frac{x^2+y^2}{W^2(z) } - jk( z + \frac{x^2+y^2}{2R(z)}) + j \phi_0(z) ]EG(x,y,z)=πW2(z)2exp[−W2(z)x2+y2−jk(z+2R(z)x2+y2)+jϕ0(z)]

其中电场已经归一化了
∫0∞∫0∞∣E(x,y)∣2ddy=1\int_0^{\infty}\int_0^{\infty} |E(x,y)|^2ddy=1∫0∞∫0∞∣E(x,y)∣2ddy=1

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z=0z=0z=0时的束腰半径W0W_0W0

W0W_0W0：曲率半径无限大（如平面波）时的波束宽度W的最小值

曲率半径R(z)=z+zc2zR(z)=z+\dfrac{z_c^2}{z}R(z)=z+zzc2

设zc=kW022z_c=k\dfrac{W^2_0}{2}zc=k2W02，1/e波束宽度W(z)W(z)W(z)关系有

W2(z)=W02(1+(zzc)2)W^2(z) = W_0^2(1 + (\frac{z}{z_c})^2)W2(z)=W02(1+(zcz)2)

相位滑动因子ϕ0(z)=arctan(z/zc)\phi_0(z)=arctan(z/z_c)ϕ0(z)=arctan(z/zc)
——描述了Z方向传播的平面波E=E0e−jkzE=E_0e^{-jkz}E=E0e−jkz，相位随z变化而变化

对于两束独立的波束，在传播了不同长度的路径后叠加的情况，由于路径长度不同，这两束波束的相位滑动项并不相同

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2.共聚焦距离（瑞利范围）

共聚焦距离（瑞利范围）：当波束保持准平行状态时
（即W(z)W(z)W(z)只会增加一个小于2\sqrt{2}2的因子）
的z的取值范围 −Zc<Z<Zc-Z_c \lt Z \lt Z_c−Zc<Z<Zc

在瑞利范围内不意味着可以成像，但是瑞利范围代表了波束的焦深

相位滑动仅仅随z在束腰和远场间渐变？
（相位滑动降低到π/2\pi/2π/2 ?）

因此傍轴波动方程使得最简单的高斯波束解有一定的特征参数
W(z)W(z)W(z) : 波束宽度
R(z)R(z)R(z) : 曲率半径
ϕ(z)\phi(z)ϕ(z) : 相位滑动因子

这次参数随z变化显著，从而确定波束的传播特性

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3.波束偏振

将电场E表示为复数，则能流III（就是单位面积的能量）
I=⟨E⃗×H∗⃗⟩=∣E∣22μ0cI = \langle \vec{E} \times \vec{H^*} \rangle = \frac{|E|^2 }{ 2\mu_0 c }I=⟨E×H∗⟩=2μ0c∣E∣2

去掉2μ0c2\mu_0 c2μ0c，对模型归一化。广义的能量为

P=∫S∣E∣22μ0cdS,S为横截面积P = \int_S\frac{|E|^2 }{ 2\mu_0 c } dS \qquad , \quad S为横截面积P=∫S2μ0c∣E∣2dS,S为横截面积

上式中E是标量，不能完全真实表示电场

可以将E作为电场中起主导作用的（比如共极化？）的分量

E⃗\vec{E}E的分量都独立满足波动方程，如果我们知道E⃗\vec{E}E ，H⃗\vec{H}H在两个方向上的分量，就可以通过maxwell方程导出（在波导模式下）E⃗\vec{E}E ，H⃗\vec{H}H
所以波束的偏振相当重要
也可以对Ex，EyE_x，E_yEx，Ey分别展开对高斯波束模式分析
（因此在傍轴近似光学层面上包含了偏振分析，这种情况下不能严格满足maxwell方程）

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高斯波束模式的传播也近似菲涅尔衍射

可以用高斯波束模式分析方法，针对典型？太赫兹源产生的辐射波束，和典型？探测器馈源的接收模式在菲涅尔、夫琅禾费两个区域进行建模

这使得在一个紧凑高效的设计里，很容易设计一个光学系统来引导、重新校准波束！

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聚焦高斯波束：简单光学系统

重聚焦元件？

比如简单薄透镜，或是工作在波束的球面入射波前的变相器的曲面镜

——可以将高斯波束重新校准

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束腰与成像

将高斯波束传播路径上的理想薄透镜当作入射波前的曲率半径R_{in}到传输波波前的曲率半径RoutR_{out}Rout的转换

1Rout=1Rin−1f\frac{1}{R_{out}} = \frac{1}{R_{in}} - \frac{1}{f}Rout1=Rin1−f1

一旦薄透镜的光学能力够强，就可以重新校准（再聚焦）波束

因此通过适当的相位曲率变换组合，可以用一系列重聚焦薄透镜维持场距离的准平行光束，从而构建所谓的束导？

短波长时，足够功率的聚焦薄透镜，可以由源得到像
——源到薄透镜距离uuu，像到薄透镜距离ν\nuν
ν=ufu−f\nu = \frac{uf}{u-f}ν=u−fuf
长波长时，Rin≠dinR_{in}\ne d_{in}Rin=din且Rout≠doutR_{out}\ne d_{out}Rout=dout

在一些复杂场分布的平面中，即使是束腰，一般也不会成像在另一束腰上

一般，在高斯波传播的单光束系统中，不用考虑成像

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高斯光束望远镜

穿过理想薄透镜（比如平面相位变换）的波束宽度W，必须与入射光束匹配

怎么匹配？

在输出端W0,outW_{0,out}W0,out有入射波束宽度W0W_0W0和薄透镜焦距的关系

W0,out2=W0,in2(1−dinf)2+(kW0,in22f)2W^2_{0,out}=\frac{W^2_{0,in}}{ ( 1 - \frac{d_{in}}{f} ) ^2 + (\frac{kW^2_{0,in}}{2f})^2 }W0,out2=(1−fdin)2+(2fkW0,in2)2W0,in2

dout=f+din−f(1−dinf)2+(kW0,in22f)2d_{out} = f + \frac{d_{in} - f}{ ( 1 - \frac{d_{in}}{f} ) ^2 + (\frac{kW^2_{0,in}}{2f})^2 }dout=f+(1−fdin)2+(2fkW0,in2)2din−f

如果din=f,dout=fd_{in}=f,d_{out} = fdin=f,dout=f（独立于输入波束参数或波长），并且波束都在薄透镜的焦平面上，有
W0,out⋅W0,in=2f/k=λf/πW_{0,out} \cdot W_{0,in} = 2f/k = \lambda f/\piW0,out⋅W0,in=2f/k=λf/π

这与几何光学相反，说明了在几何光学设计被认为已经足够的前提下，用长波长光学的一个缺点

简单光学系统（高斯光束望远镜）：设置两个间距为f1+f2f_1+f_2f1+f2的薄透镜，入射波束腰在第一个透镜的焦平面上

此时，在第二个透镜的出射焦平面与频率无关
此系统有完善的光学望远镜构型
dout=f2,W0,out=(f2/f1)⋅W0,ind_{out}=f_2,W_{0,out}= (f_2/f_1 ) \cdot W_{0,in}dout=f2,W0,out=(f2/f1)⋅W0,in

在长波长光学系统、带宽要求很宽时，高斯光束望远镜很重要

多个薄透镜，通过高斯光束望远镜的级联，可以构造一个束导
产生一个独立的宽带结果，如果透镜焦距相等，波束就可得到连续放大

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一般光学系统中的ABCD矩阵（常用）

ABCD传输矩阵M是由光轴到射线轨迹点距离r和射线点到光轴连线的角度θ\thetaθ组成的矢量

入射参考面矩阵(rin,θin)(r_{in},\theta_{in})(rin,θin)

转换到

出射参考面矩阵(rout,θout)(r_{out},\theta_{out})(rout,θout)

[routθout]=M⃗⋅[rinθin]=[ABCD][rinθin]=[Arin+BθinCrin+Dθin]\left[ \begin{matrix} r_{out} \\ \theta_{out} \end{matrix} \right] = \vec{M}\cdot \left[ \begin{matrix} r_{in} \\ \theta_{in} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} r_{in} \\ \theta_{in} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} Ar_{in} + B \theta_{in} \\ Cr_{in} + D \theta_{in} \end{matrix} \right][routθout]=M⋅[rinθin]=[ACBD][rinθin]=[Arin+BθinCrin+Dθin]

完整的ABCD矩阵可以有多个独立器件的ABCD乘积得到

但是要考虑光在元件之间的自由空间、介质中传播的距离

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ABCD与高斯波束

波束相位弯曲光学系统，与高斯波束相联系

短波长时，可以将系统光轴上一个点源发出的球面波，等效为照射在入射平面的一片光

对其中的每一束光，rinθin=Rin\dfrac{r_{in}}{\theta_{in}}=R_{in}θinrin=Rin为常量（波阵面曲率半径到点源距离一样）

Rout=rjoutθout=ARin+BCRin+DR_{out}=\frac{r_{jout}}{\theta_{out}}=\frac{AR_{in}+B}{CR_{in}+D}Rout=θoutrjout=CRin+DARin+B

计算光线轨迹的ABCD矩阵可以得到光学系统中波束曲率半径随传播的变化

可以将高斯波束看做有复曲率半径q(z)=q0+zq(z)=q_0+zq(z)=q0+z复点源

u(x,y,z)∝exp(−jk(x2+y2)2q(z))u(x,y,z) \propto exp( - j \frac{k(x^2+y^2)}{ 2q(z) } )u(x,y,z)∝exp(−j2q(z)k(x2+y2))

qinq_{in}qin：高斯波束在入射平面(Win,Rin,ϕin)(W_{in},R_{in},\phi_{in})(Win,Rin,ϕin)的复曲率半径

qoutq_{out}qout：高斯波束在出射平面(Wout,Rout,ϕout)(W_{out},R_{out},\phi_{out})(Wout,Rout,ϕout)的复曲率半径

qout=Aqin+BCqin+Dq_{out}=\frac{Aq_{in}+B}{Cq_{in} + D}qout=Cqin+DAqin+B

Wout=−λπ(Im[C+D/qinA+B/qin])−1W_{out} = \sqrt{ \frac{-\lambda}{ \pi } ( Im[ \frac{C+D/q_{in}}{A+B/q_{in}} ]) ^{-1} }Wout=π−λ(Im[A+B/qinC+D/qin])−1

Rout=(Re[C+D/qinA+B/qin])−1R_{out}=( Re[ \frac{C+D/q_{in}}{A+B/q_{in}} ] )^{-1}Rout=(Re[A+B/qinC+D/qin])−1

ϕ0,out=ϕ0,in−Arg[A+B/qin]\phi_{0,out}=\phi_{0,in} - Arg[ A + B / q_{in}]ϕ0,out=ϕ0,in−Arg[A+B/qin]

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ABCD矩阵的例子

	ABCD矩阵M
（无镜）自由空间或恒定折射率媒介中传播距离L	[1L01]\left[ \begin{matrix}1 & L \\ 0 & 1 \end{matrix} \right][10L1]
（一个镜）在焦距fff 的薄透镜中变换	[10−1/f1]\left[ \begin{matrix}1 & 0 \\ -1/f & 1 \end{matrix} \right][1−1/f01]
（两个镜）通过焦距分别为f1，f2f_1，f_2f1，f2的薄透镜变换，用于高斯光束望远镜	[−f2/f100−f1/f2]\left[ \begin{matrix}-f_2/f_1 & 0 \\ 0 & -f_1/f_2 \end{matrix} \right][−f2/f100−f1/f2]
在曲率半径R的弧形界面折射，n1n_1n1：初始折射率，n2n_2n2：最终折射率，当R<0R<0R<0，为凸面镜（曲率中心在界面后面）	[10−(n1−n2)/n2Rn1/n2]\left[ \begin{matrix}1 & 0 \\ -(n_1 - n_2)/n_2R & n_1/n_2 \end{matrix} \right][1−(n1−n2)/n2R0n1/n2]

Mtotal=MN⋅MN−1⋯M2⋅M1=[ABCD]M_{total}=M_N\cdot M_{N-1} \cdots M_2 \cdot M_1 = \left[ \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} \right]Mtotal=MN⋅MN−1⋯M2⋅M1=[ACBD]

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来自：《太赫兹光谱和成像》