【成像】【8】太赫兹光学——波束耦合，高阶高斯波束模型

前言

有些人是一直刻在生命里的，就算忘记了他的声音忘记了他的笑容忘记了他的脸，可是每次想起他，那种感受永远不会变——《仙逆》

波束耦合问题

辐射元件耦合

喇叭天线可以产生容易控制和理解的波束

喇叭天线孔径处的场可以由波导理论推测得到

进行多模分析时，天线孔径处是决定高次模分解形式的一个理想平面

孔径处的场有明确定义的曲率相位半径RRR？

曲率中心处于喇叭张口顶点

拟合到场里的高斯光束，离轴球面相位变化可用二次旁轴波束近似表述

选择一个波束宽带参数W，该参数可将耦合优化到基模 E(x,y)≈A0EG(x,y)E(x,y)\approx A_0E_G(x,y)E(x,y)≈A0EG(x,y)

A0A_0A0是基本模式系数，EG(x,y)E_G(x,y)EG(x,y)是简单高斯函数（基模）

对波纹喇叭天线，孔径处（半径a）的波束宽度可以设为Wap=0.6435aW_{ap}=0.6435aWap=0.6435a

波纹喇叭天线中98%的能量在HE11HE_{11}HE11模

下表列出了典型喇叭天线的最佳拟合高斯近似参数

当 W=0.51aW=0.51aW=0.51a 时，截断均匀场最低阶一维高斯模式的分形耦合有最大值？
对于简单的余弦锥形场最大值在 W=0.35aW=0.35aW=0.35a
当束腰在x,y轴上相等时，方形TE10TE_{10}TE10模波导场分形耦合到最低阶二维高斯基模EG(x,y)E_G(x,y)EG(x,y)在W=0.43aW=0.43aW=0.43a处有最大值
（a是方形波导边长）
84%的能量集中在基模

需要将高斯波束高次模加进来以便于更准确地描述真实的场（无高斯影响）
从而对诸如喇叭天线波束方向图如何演化和产生旁瓣结构进行模拟
——这些旁瓣等效于传统光学中的极点，即如常用的基于菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射积分的仿真模拟结果

喇叭天线在1THz以上难以工作

1THz以上常用平面透镜天线
——但是耦合到高斯基模的能量因为有更高的旁瓣所以有所下降

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失配高斯波束、散焦效应

波束耦合问题，如何匹配到探测器

源发出的入射波束耦合到描述相应器件特性的波束（如探测器或像将两束波重组的迈克尔逊干涉仪）
因为准光学束导中的机械误差、散焦、其他公差影响

分析波束耦合效率时，需要计算从入射波束耦合到器件波束的部分功率

分别得到两束波束a,ba,ba,b间的不匹配参数的函数
(Wa,Ra)(W_a,R_a)(Wa,Ra) 和 (Wb,Rb)(W_b,R_b)(Wb,Rb)

横向平面S上的Ea,EbE_a,E_bEa,Eb间的耦合系数由重叠积分
Cab=∣∬SEa∗(x,y;Wa,Ra)Eb(x,y;Wb,Rb)dxdy∣2C_{ab}=\left| \iint_S E^*_a(x,y;W_a,R_a) E_b(x,y;W_b,R_b) dxdy \right|^2Cab=∣∣∬SEa∗(x,y;Wa,Ra)Eb(x,y;Wb,Rb)dxdy∣∣2定义

由于考虑了标量场，必须注意极化效应及规范化

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不匹配

要得到最大功率耦合时，两束波轴对齐而束腰并不一致时，任意平面上的W和R的波束都有不匹配出现

束腰尺寸不匹配W0,a≠W0,bW_{0,a} \ne W_{0,b}W0,a=W0,b
轴向滑移不匹配ϕ0,a≠ϕ0,b\phi_{0,a}\ne \phi_{0,b}ϕ0,a=ϕ0,b

(a) 对于不匹配和散焦系统来说，小功率耦合为：

Cabaxial=4/[(W0,bW0,a+W0,aW0,b)2+(λΔzπW0,aW0,b)2]C_{ab}^{axial} = 4/ [ (\frac{W_{0,b}}{W_{0,a}} + \frac{W_{0,a}}{W_{0,b}} )^2 + (\frac{\lambda \Delta z}{\pi W_{0,a} W_{0,b}} )^2]Cabaxial=4/[(W0,aW0,b+W0,bW0,a)2+(πW0,aW0,bλΔz)2]
其中Δz\Delta zΔz是束腰位移

(b) 倾斜tilt情况下，失配使其他光轴插入平面的场的相位斜率增加，小功率耦合为：

Cabtilt=exp[−(θθw)2]C_{ab}^{tilt} = exp[ - ( \frac{\theta}{\theta_w} )^2 ]Cabtilt=exp[−(θwθ)2]

其中θw=λ/πW\theta_w=\lambda/\pi Wθw=λ/πW，倾斜出现在束腰处

Caboffset=exp[−(ΔxW0)2]C_{ab}^{offset}= exp[ - ( \frac{\Delta x}{W_0} )^2 ]Caboffset=exp[−(W0Δx)2]

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高阶高斯波束模型

高斯波束是傍轴近似波动方程（paraxial wave equation）的最简单解

有时需要对更复杂的场分布建模时，可以用更高次波束模型的解

与基模一样，这些高次高斯模型特征由波束半径W(z)W(z)W(z)和相位曲率半径R(z)R(z)R(z)描述，不同的是相对于平面波的相位滑动ϕ\phiϕ

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高斯-拉盖尔模式

Epm(r,φ,z)=[2p!π(p+m)!]0.5⋅1W(z)[2rW(z)]m⋅Lpm2r2W2(z)⋅exp(−r2W2(z)−jkz−jπr2λR(z)+j(2p+m+1)ϕ0(z))⋅exp(jmφ)E_{pm}(r,\varphi,z)=[\frac{2p!}{\pi(p+m)!}]^{0.5} \cdot \frac{1}{W(z)} [ \frac{\sqrt{2}r}{W(z)} ]^{m}\cdot L_p^m \frac{2r^2}{W^2(z)} \cdot \\\\ exp( \frac{ -r^2 }{W^2(z)} -jkz - \frac{ j\pi r^2}{ \lambda R(z) } + j(2p+m+1)\phi_0(z) ) \cdot \\\\ exp(jm\varphi)Epm(r,φ,z)=[π(p+m)!2p!]0.5⋅W(z)1[W(z)2r]m⋅LpmW2(z)2r2⋅exp(W2(z)−r2−jkz−λR(z)jπr2+j(2p+m+1)ϕ0(z))⋅exp(jmφ)
其中LpmL_p^mLpm是广义拉盖尔多项式

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高斯-埃尔米特模式

Emn(x,y,z)=(1πW2(z)2m+n−1m!n!)0.5⋅Hm(2xW(z))⋅Hn(2yW(z))⋅exp[−x2+y2W2(z)−jkz−jπ(x2+y2)λR(z)+j(n+m+1)ϕ0(z)]E_{mn}(x,y,z) = ( \frac{1}{ \pi W^2(z) 2^{m+n-1} m!n!} )^{0.5} \cdot H_m (\frac{\sqrt{2}x}{W(z)}) \cdot H_n (\frac{\sqrt{2}y}{W(z)}) \cdot \\\\ exp[ - \frac{x^2+y^2}{W^2(z)} - jkz -\frac{j\pi (x^2+y^2)}{ \lambda R(z) } + j(n+m+1)\phi_0(z) ]Emn(x,y,z)=(πW2(z)2m+n−1m!n!1)0.5⋅Hm(W(z)2x)⋅Hn(W(z)2y)⋅exp[−W2(z)x2+y2−jkz−λR(z)jπ(x2+y2)+j(n+m+1)ϕ0(z)]

其中Hm(t)H_m(t)Hm(t)是埃尔米特多项式

因为模式是标准化的，所以广义上的功率是归一化的，都是正交模

ϕ0\phi_0ϕ0是基模的相位滑动

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高斯模叠加表述

傍轴波束E(x,y,z)=∑iAiEi(x,y,z)傍轴波束E(x,y,z)=\sum_i A_i E_i(x,y,z)傍轴波束E(x,y,z)=i∑AiEi(x,y,z)

其中AiA_iAi是模式系数，i是模式数(m,n)(m,n)(m,n)

如果已知S面上的场，那么模式系数为

Ai=∬SEi∗(x,y,z)E(x,y,z)dSA_i = \iint_S E^*_i(x,y,z)E(x,y,z)dSAi=∬SEi∗(x,y,z)E(x,y,z)dS

场的高次模分解需要大量计算

仅仅在模与模之间没有散射使需要
（反射镜和透镜作为无截断的理想移相器）

光学元件会引入可观的模与模之间的功率散射

选择最佳光束模式设置对高斯波束模型效率至关重要

一般选择基模中功率最大的几个模，就可以得到波源处高准确度的场

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来自：《太赫兹光谱和成像》