原标题：超级加倍！学会了就是一代土块(du guai)——你知道有多少种洗牌的方式吗？

数学中有一个非常可爱的函数——阶乘函数( factorial function)，它会将输入数乘以所有小于它的正整数。例如，factorial (5) = 5×4×3×2×1 = 120。通常阶乘的结果惊人地庞大，顺其自然地，阶乘简记为一个感叹号。当一个数学家写下5! = 120或者13! = 6,227,020,800时，感叹号既代表阶乘，也传达了兴奋之情。

阶乘在数学中备受关注有很多原因，其中一个最普遍的原因是它代表了打乱物品方法的总数。假如你有 13 张扑克要洗，那么第一张牌就有13 种可能，第二张就剩下12 种可能，第三张剩下11 种可能，以此类推。仅仅13 张牌就有超过60 亿种排列方式。

对于一副包含 52 张牌的扑克，数字非常庞大。手动计算52! 会花费很长时间，这就是最适合让计算机帮我们的事了。为了让计算机帮我们干活，你需要将计算过程表达成一个计算机可以执行的算法。下面便是我写的一系列指令，将输入数乘以所有小于它的数。

步骤 1：将初始值 n 设置为运行结果。

步骤 2：将 n 减去 1。

步骤 3：将运行结果乘以新的 n。

步骤 4：重复步骤 2 和步骤 3，直到 n 减小至 1。

步骤 5：返回运行结果。

计算 52! 时，我们可以试着按照算法手动执行前几个循环：

我们只运行了6 个循环，运行结果已经超过了140 亿！(这个感叹号不是阶乘的意思，我只是想强调这些数字增长得多快。)这绝对是我们希望计算机为我们做的那种冗长的计算。最后一步是将算法翻译成计算机能够接受的语言。

对于计算机而言，算法是什么样的？正如人类可以说不同的语言，计算机也可以明白不同的编程语言。我选择了 Python 语言，因为它的语法非常简单，也是最接近英语的计算机语言之一。在程序中，我还在右侧添加了注释，以解释每一行代码的作用。

下面就是我用 Python实现的阶乘算法。如果你愿意，不妨在计算机上运行一下。与我们之前命名函数的方式类似，我们可以赋予每个算法一个名字，然后在旁边的括号中写上要输入的东西。

我再三检查了这个程序，确保它可以正常运行。我将这个程序载入到计算机中，输入“factorial (13)”来验证 13!。6,227,020,800 再次出现在我的屏幕上。于是我计算了 52!，屏幕上的结果如下：

>>>factorial(52)

这是一个包含 68 位数字的数，是一个真正庞大的数。也就是说，我们有8,000 亿亿亿亿亿亿亿亿种方式来洗52 张扑克牌。可观测宇宙中只有1 亿亿亿颗恒星；我们的宇宙目前的年龄是40 亿亿秒。

这意味着，即使每一颗恒星都有 10 亿颗行星，每颗行星上有10 亿个外星人，每个外星人从宇宙诞生开始以每秒10 亿次的速度洗牌，我们现在最多只能洗完所有可能方式的一半。这只是52 张牌，幸亏我们还没有加入大小王！

无论如何，我们现在知道答案是什么了。我们还可以用另外一种方法计算：递归算法。我们只需要用这个算法本身来描述算法，例如：“n 的阶乘就是n 乘以n-1 的阶乘。” 唯一还需要知道的就是，1 的阶乘是1 这是算法中的“ 退出条款” ，可以防止递归无限地进行下去。

步骤 1：注意 1 的阶乘等于 1。

步骤 2：n 乘以 n-1 的阶乘。

翻译成 Python 语言：

拿到“factorial (13)” 后，我的计算机便开始生成递归链，直到它计算factorial (1) ，然后返回，最终输出6,227,020,800 。同样，运行“factorial (52)” 会输出包含68 位数字的怪物。实际上我并没有告诉程序到底如何计算阶乘，只是告诉程序一个数的阶乘是如何与更小的阶乘联系在一起的。再一次，递归算法展现了它的魔力：从看似空洞的代码中变出答案。现在有两个不同的程序以不同的方法计算出相同的答案。

于是我们只有一个选择：让它们竞争！我花费了一小段时间，同时运行这两个算法，进行比赛：最先计算出 100 阶乘的算法 获胜。计算出100! 的全部158 位数字，递归的Python 程序花费了0.000068 秒，而普通的算法只用了0.000046 秒。因此，毫无疑问，非递归算法取得了胜利！

然而，递归算法并不是总输给显式算法，这取决于算法计算什么，递归算法非常适合于计算某些问题。最后，我们利用递归算法算算移动圆盘的祭司们需要多长时间才能引发世界末日。每移动一个圆盘到目标柱，需要将其上方的所有圆盘移动两次，所以每增加一个圆盘，总移动次数就要变成原来的 2倍，再外加一步将最底圆盘移动到目标柱，所以将含有n个圆盘的塔移到目标柱所需的步数是移动n-1个圆盘的步数的2倍再加1。

因此，如果你有 10 个圆盘，就需要移动1,023 次(这个数其实就是210-1 ，是一个梅森数！所有形如2n -1 的数都是梅森数，即使它们不是素数)。如果每秒移动一步，那么需要大约17 分钟来完成所有的移动。

即使一个人将一生的所有时间全部用于移动圆盘，最多只能完成包含 31 个圆盘的汉诺塔的移动。所以如果一个人的空闲时间比较多，那么包含32 个圆 盘的汉诺塔是一个不错的礼物。与完成100 亿张牌的魔术相比，完成这个“ 快速游戏” 所需的时间长多了。

标准的国际象棋棋盘有64 个方格，所以麦粒总数恰好是移动64 个圆盘的汉诺塔所需的步数——超过 1,800 亿亿。

这是一个庞大的数字，即使祭司在 46 亿年前太阳系刚形成的时候就开始搬运圆盘，每秒钟移动50 步，从现在开始向后推50 亿年，他们依然无法完成这项工作。到那时，太阳将变成一个红巨星，将地球吞噬。所以我想，现在我们很安全。

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《我们在四维空间可以做什么》

著者

［澳］马特·帕克 (Matt Parker)

审校

顾森( Matrix67)

听会说脱口秀的数学家讲一场克服数学恐惧症的数学栋笃笑返回搜狐，查看更多

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