多元函数中的泰勒公式的表达

一元函数的泰勒公式
二元函数的泰勒公式
多元函数中的泰勒公式

多元函数中最优化问题的目标函数往往是一个复杂的函数，简化问题的时候，通常表达为在某一点的泰勒展开的表达式。与一元函数类似，多元函数中的泰勒公式在应用问题上也具有着举足轻重的作用。
基本思想 不论是多元函数也好，还是一元函数也好，最基本的泰勒公式的展开式基本思想是用多项式函数逼近函数本身。

一元函数的泰勒公式

设函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_{0}x0处的邻域内有n+1n+1n+1阶导数，那么就会有泰勒展开式
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+12!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+1n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rnf(x)=f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+\frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(x_{0})(x-x_{0})^{2}+\dots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n}+R_{n}f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!1f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!1f(n)(x0)(x−x0)n+Rn

或者表示为
f(x)=∑k=0n1n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rnf(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n}+R_{n}f(x)=k=0∑nn!1f(n)(x0)(x−x0)n+Rn

其中RnR_{n}Rn被称为余项
Rn=1(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1,ξ∈(x,x0)R_{n}=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-x_{0})^{n+1},\xi\in{(x,x_{0})}Rn=(n+1)!1f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1,ξ∈(x,x0)

一般地，拉格朗日余项中ξ=x0+θΔx,Δx=x−x0,0<θ<1\xi=x_{0}+\theta\Delta{x},\Delta{x}=x-x_{0},0<\theta<1ξ=x0+θΔx,Δx=x−x0,0<θ<1。

二元函数的泰勒公式

二元函数的泰勒公式是一元函数的推广。设f(x,y)f(x,y)f(x,y)在点(x0,y0)(x_{0},y_{0})(x0,y0)的邻域内含有n+1n+1n+1阶的可微函数，那么在(x0,y0)(x_{0},y_{0})(x0,y0)处的泰勒展开式表示为
f(x,y)=f(x0,y0)+(Δx∂∂x+Δy∂∂y)f(x0,y0)+12!(Δx∂∂x+Δy∂∂y)2f(x0,y0)+⋯+1n!(Δx∂∂x+Δy∂∂y)nf(x0,y0)+Rnf(x,y)=f(x_{0},y_{0})+\left(\Delta{x}\dfrac{\partial}{\partial{x}}+\Delta{y}\frac{\partial}{\partial{y}}\right)f(x_{0},y_{0})+\frac{1}{2!}\left(\Delta{x}\dfrac{\partial}{\partial{x}}+\Delta{y}\frac{\partial}{\partial{y}}\right)^{2}f(x_{0},y_{0})+\dots+\frac{1}{n!}\left(\Delta{x}\dfrac{\partial}{\partial{x}}+\Delta{y}\frac{\partial}{\partial{y}}\right)^{n}f(x_{0},y_{0})+R_{n}f(x,y)=f(x0,y0)+(Δx∂x∂+Δy∂y∂)f(x0,y0)+2!1(Δx∂x∂+Δy∂y∂)2f(x0,y0)+⋯+n!1(Δx∂x∂+Δy∂y∂)nf(x0,y0)+Rn

或者表示为和的形式

f(x,y)=∑k=0n1k!(Δx∂∂x+Δy∂∂y)kf(x0,y0)+Rnf(x,y)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\left(\Delta{x}\dfrac{\partial}{\partial{x}}+\Delta{y}\frac{\partial}{\partial{y}}\right)^{k}f(x_{0},y_{0})+R_{n}f(x,y)=k=0∑nk!1(Δx∂x∂+Δy∂y∂)kf(x0,y0)+Rn

RnR_{n}Rn为余项

Rn=1(n+1)!(Δx∂∂x+Δy∂∂y)n+1f(x+θΔx,y+θΔy),(0<θ<1)R_{n}=\frac{1}{(n+1)!}\left(\Delta{x}\dfrac{\partial}{\partial{x}}+\Delta{y}\frac{\partial}{\partial{y}}\right)^{n+1}f(x+\theta{\Delta{x}},y+\theta{\Delta{y}}),(0<\theta<1)Rn=(n+1)!1(Δx∂x∂+Δy∂y∂)n+1f(x+θΔx,y+θΔy),(0<θ<1)

一般情况下，我们使用二元函数中的二阶泰勒公式比较多,表示为如下所示
f(x,y)=f(x0,y0)+(fx′fy′)X0(ΔxΔy)+12(ΔxΔy)(fxx′′fxy′′fyx′′fyy′′)X0(ΔxΔy)+R2f(x,y)=f(x_{0},y_{0})+\left(\begin{array}{cccc} f_{x}^{\prime}&f_{y}^{\prime}\\ \end{array}\right)_{X_{0}}\left(\begin{array}{cccc} \Delta{x}\\ \Delta{y} \end{array}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{cccc} \Delta{x}&\Delta{y} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} f_{xx}^{\prime\prime}&f_{xy}^{\prime\prime}\\ f_{yx}^{\prime\prime}&f_{yy}^{\prime\prime}\\ \end{array}\right)_{X_{0}}\left(\begin{array}{cccc} \Delta{x}\\ \Delta{y} \end{array}\right)+R_{2}f(x,y)=f(x0,y0)+(fx′fy′)X0(ΔxΔy)+21(ΔxΔy)(fxx′′fyx′′fxy′′fyy′′)X0(ΔxΔy)+R2
其中X0=(x0,y0)X_{0}=(x_{0},y_{0})X0=(x0,y0)。

多元函数中的泰勒公式

很容易我们推出多元函数中的泰勒公式。设多元函数f(x1,x2,…,xm)f(x_{1},x_{2},\dots,x_{m})f(x1,x2,…,xm)在点P(x10,x20,…,xm0)P(x_{10},x_{20},\dots,x_{m0})P(x10,x20,…,xm0)的邻域内n+1n+1n+1阶可微，则泰勒公式表示为
f(x1,x2,…,xm)=f(x10,x20,…,xm0)+(∑k=0mΔxm∂∂xm)f(x10,x20,…,xm0)+⋯+1n!(∑k=0mΔxm∂∂xm)nf(x10,x20,…,xm0)+Rnf(x_{1},x_{2},\dots,x_{m})=f(x_{10},x_{20},\dots,x_{m0})+\left(\sum\limits_{k=0}^{m}\Delta{x_{m}}\frac{\partial}{\partial{x_{m}}}\right)f(x_{10},x_{20,\dots,x_{m0}})+\dots+\frac{1}{n!}\left(\sum\limits_{k=0}^{m}\Delta{x_{m}}\frac{\partial}{\partial{x_{m}}}\right)^{n}f(x_{10},x_{20},\dots,x_{m0})+R_{n}f(x1,x2,…,xm)=f(x10,x20,…,xm0)+(k=0∑mΔxm∂xm∂)f(x10,x20,…,xm0)+⋯+n!1(k=0∑mΔxm∂xm∂)nf(x10,x20,…,xm0)+Rn

或者表示为

f(x1,x2,…,xm)=∑k=0n1k!(∑k=0mΔxm∂∂xm)kf(x10,x20,…,xm0)+Rnf(x_{1},x_{2},\dots,x_{m})=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\left(\sum\limits_{k=0}^{m}\Delta{x_{m}}\frac{\partial}{\partial{x_{m}}}\right)^{k}f(x_{10},x_{20},\dots,x_{m0})+R_{n}f(x1,x2,…,xm)=k=0∑nk!1(k=0∑mΔxm∂xm∂)kf(x10,x20,…,xm0)+Rn

余项RnR_{n}Rn为
Rn=1(n+1)!(∑k=0mΔxm∂∂xm)n+1f(x10+θΔx10,x20+θΔx20,…,xm0+θΔxm0),0<θ<1R_{n}=\frac{1}{(n+1)!}\left(\sum\limits_{k=0}^{m}\Delta{x_{m}}\frac{\partial}{\partial{x_{m}}}\right)^{n+1}f(x_{10}+\theta{\Delta{x_{10}}},x_{20}+\theta{\Delta{x_{20}}},\dots,x_{m0}+\theta{\Delta{x_{m0}}}),0<\theta<1Rn=(n+1)!1(k=0∑mΔxm∂xm∂)n+1f(x10+θΔx10,x20+θΔx20,…,xm0+θΔxm0),0<θ<1

一般使用hessian矩阵表示二阶多元函数泰勒公式:
f(x)=f(x0)+[∇f(x)]T(x−x0)+12!(x−x0)TH(x0)(x−x0)+o(ρ2)f(\textbf{x})=f(\textbf{x}_{0})+[\nabla{f(\textbf{x})}]^{T}(\textbf{x}-\textbf{x}_{0})+\dfrac{1}{2!}(\textbf{x}-\textbf{x}_{0})^{T}H(\textbf{x}_{0})(\textbf{x}-\textbf{x}_{0})+o(\rho^{2})f(x)=f(x0)+[∇f(x)]T(x−x0)+2!1(x−x0)TH(x0)(x−x0)+o(ρ2)

其中
H(x0)=[∂2f∂x12∂2f∂x1x2⋯∂2f∂x1xm∂2f∂x1x2∂2f∂x22⋯∂2f∂x2xm⋯⋯⋯⋯∂2f∂x1xm∂2f∂x2xm⋯∂2f∂xm2]H(\textbf{x}_{0})=\left[\begin{array}{cccc} \frac{\partial^{2}{f}}{\partial{x_{1}^{2}}}&\frac{\partial^{2}{f}}{\partial{x_{1}x_{2}}}&\cdots&\frac{\partial^{2}{f}}{\partial{x_{1}x_{m}}}\\ \frac{\partial^{2}{f}}{\partial{x_{1}x_{2}}}&\frac{\partial^{2}{f}}{\partial{x_{2}^{2}}}&\cdots&\frac{\partial^{2}{f}}{\partial{x_{2}x_{m}}}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ \frac{\partial^{2}{f}}{\partial{x_{1}x_{m}}}&\frac{\partial^{2}{f}}{\partial{x_{2}x_{m}}}&\cdots&\frac{\partial^{2}{f}}{\partial{x_{m}^{2}}}\\ \end{array}\right]H(x0)=⎣⎢⎢⎢⎢⎡∂x12∂2f∂x1x2∂2f⋯∂x1xm∂2f∂x1x2∂2f∂x22∂2f⋯∂x2xm∂2f⋯⋯⋯⋯∂x1xm∂2f∂x2xm∂2f⋯∂xm2∂2f⎦⎥⎥⎥⎥⎤

在之后的文章中，笔者会使用牛顿法、拟牛顿法解决多元函数中的最优化问题，这里就会用到多元函数中的泰勒公式。

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