二元函数可导与可微的关系_多元函数中可微与可导的直观区别是什么?
在多元的情况下,可微可导的关系要比在一元情况下复杂,但是只是要复杂一些,如果我们从一元开始去理解,你会发现并不困难。
这篇文章主要阐述以下三个概念:偏微分
偏导数
全微分
全导数这里暂时不讲,看名字好像和全微分关系很大,其实和“方向导数”的关系更大,所以留到讲“方向导数”的时候再一起来说。
1 偏微分
在一元函数中的微分就是函数的切线:
关于微分就是切线,我写的很多文章(比如我最近的 如何通俗解释全微分? )都希望大家可以理解这一点,虽然要严格讲清楚需要微分几何、流型的知识,但是我认为掌握了这一点对于我们学习微积分很有帮助。
我们发挥一下空间想象力,把它从平面中拽出来,进入三维空间:
之前是平面曲线,现在是空间曲线。切线仍然是切线,微分仍然是微分。
我们再想象一下,其实这个空间曲线是
这个空间平面与
这个空间曲面的交线:
我们就把这个切线称为
对于
的偏微分。为什么是对于
的呢?因为这是
与
的交线,在这条线上无论点怎么变化,都要满足
,即
是常数不会变化。
你来玩玩下面这个互动操作就知道了,点在线上变化只会改变
和
:
理解了这个,就可以举一反三,所有
(
为常数)的平面与
的交线都是满足刚才说的特点:
这些交线上的点的切线都是
关于
的偏微分。
当然,如果
与
(
为常数)得到的交线,这些交线的切线就是
关于
的偏微分。
总结,偏微分就是:固定
,变换
得到的就是
关于
的偏微分
固定
,变换
得到的就是
关于
的偏微分
2 偏导数
偏微分理解了偏导数就好理解了,就是偏微分的斜率,现在你应该可以明白为什么我们在求
对于
的偏导数的时候,我们把
当作常数来看待了吧。
只是有一点需要说明,在三维空间中角度可以有不同的定义,计算斜率的时候我们是看下面这个
角:
总结,偏导数就是偏微分的斜率。
3 全微分
其实,不光是
或者
这样的平面可以和
相交得到交线,所有和
平面垂直的平面都相交得到交线,这些交线都会有切线(微分)。
这个平面相交得到的交线:
这个平面也可以:
总之,应该是360°无死角,自己动手试试:
如果这些切线都存在,并且这些切线(无数条)还都在同一个平面上(平面不是曲面),那么得到的这个平面就是全微分(也叫做切平面,或者说切空间):
总结,全微分就是:360°微分都存在
并且这些微分要共面,得到的就是全微分
4 全微分与偏导数、偏微分的关系
根据全微分的定义,如果全微分存在,那么偏导数、偏微分一定存在。
但是反过来不一定成立,即偏导数、偏微分存在,全微分不一定存在。因为偏导、偏微分只是
或者
方向的导数、微分,而全微分要求的是360°无死角。
举个例子,看这个 :
我们考察这个函数在
点的全微分和偏微分的情况。
与
的交线是:
平面与曲面所交曲线与
轴重合:
在
点的微分(切线)很明显,就是交线(
轴)自身,因此关于
的偏微分存在。
但是
与
的交线是:
在
点形成了一个尖点,很显然此时的微分不存在:
因此,全微分不存在。
总结,全微分与偏导数、偏微分的关系:全微分存在偏导数、偏微分一定存在
偏导数、偏微分存在全微分不一定存在
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