点到指定Bezier曲线的最短距离

Bezier曲线本质上是一个多项式。

三次曲线Q：
Q ( u ) = ( 1 − u ) 3 P 0 + 3 ( 1 − u ) 2 u P 1 + 3 ( 1 − u ) u 2 P 2 + u 3 P 3 = n u 3 + r u 2 + s u + v \begin{aligned} Q(u) &= (1-u)^3P_0+3(1-u)^2uP_1+3(1-u)u^2P_2+u^3P_3\\ &=nu^3+ru^2+su+v \end{aligned} Q(u)=(1−u)3P0+3(1−u)2uP1+3(1−u)u2P2+u3P3=nu3+ru2+su+v

点P到曲线Q的距离D(u)：
D ( u ) = ∣ Q ( u ) − P ∣ 2 = ( Q x − P x ) 2 + ( Q y − P y ) 2 + ( Q z − P z ) 2 ( 1 ) D(u)=|Q(u)-P|^2=(Q_x-P_x)^2+(Q_y-P_y)^2+(Q_z-P_z)^2 \quad (1) D(u)=∣Q(u)−P∣2=(Qx−Px)2+(Qy−Py)2+(Qz−Pz)2(1)

求最短距离，即最小值优化问题：
D 2 ( u ) m i n = m i n D 2 ( u ) 0 ≤ u ≤ 1 ( 2 ) D^2(u)_{min}=min{\quad D^2(u)} \quad 0\le u\le 1\quad(2) D2(u)min=minD2(u)0≤u≤1(2)

二分区间法求解

算法流程：

1.分别计算点P到数据点Pi (i=0,1,2,3)的距离，取最小距离对应点位Pj

2.取Pj对应的节点ui为初始节点

3.选取合适的区间值 interval

4.根据式(1),计算节点 ui+interval,ui-interval,ui处的距离 d1,d2,d0

5.如果d1或者d2小于d0，将ui的值更改为ui+interval或ui-interval

6.如果d1、d2都大于d0，将区间interval减半为interval/2

7.重复以上步骤，直到d1 d2 d0之间的差值满足设置的精度

Python仿真结果

图中，

黑色点位为给定的点位P；

红色点位为曲线Q（u）上距离P最近的点Pmin；

黑色线为P到曲线Q的距离D(u)；

红色线为拟合的Bezier曲线Q（u）；

黑色点的y坐标不变，横坐标不断向右移动。由动图可见，计算得到的Pmin始终跟随D(u)的最小距离位置，

最短距离点计算成功！

牛顿迭代法求解

由数学知识可知，为求解式(2)，即求解式(1)在区间[0,1]的极小值，此问题即转化为求极值问题。

式(1)的极值即出现在其导数值为0的点，其导数为：
D ′ ( u ) = 2 ( Q x − P x ) Q x ′ + 2 ( Q y − P y ) Q y ′ + 2 ( Q z − P z ) Q z ′ = 0 ( 3 ) f ( u ) = ( Q x − P x ) Q x ′ + ( Q y − P y ) Q y ′ + ( Q z − P z ) Q z ′ f ′ ( u ) = Q x ′ 2 + ( Q x − P x ) Q x ′ ′ + Q y ′ 2 + ( Q y − P y ) Q y ′ ′ + Q z ′ 2 + ( Q z − P z ) Q z ′ ′ D^{'}(u)=2(Q_x-P_x)Q^{'}_x+2(Q_y-P_y)Q^{'}_y+2(Q_z-P_z)Q^{'}_z=0 \quad (3)\\ f(u) = (Q_x-P_x)Q^{'}_x+(Q_y-P_y)Q^{'}_y+(Q_z-P_z)Q^{'}_z\\ f^{'}(u)=Q_x^{'2}+(Q_x-P_x)Q^{''}_x+Q_y^{'2}+(Q_y-P_y)Q^{''}_y+Q_z^{'2}+(Q_z-P_z)Q^{''}_z D′(u)=2(Qx−Px)Qx′+2(Qy−Py)Qy′+2(Qz−Pz)Qz′=0(3)f(u)=(Qx−Px)Qx′+(Qy−Py)Qy′+(Qz−Pz)Qz′f′(u)=Qx′2+(Qx−Px)Qx′′+Qy′2+(Qy−Py)Qy′′+Qz′2+(Qz−Pz)Qz′′

求解式子（3）,可以使用牛顿迭代公式求解：
u k + 1 = u k − f ( u ) f ′ ( u ) ( 4 ) u_{k+1}=u_k-\frac{f(u)}{f^{'}(u)} \quad (4) uk+1=uk−f′(u)f(u)(4)

牛顿迭代公式求解速度很快，但是对初值的选取比较敏感，如果初值选取的不好，有可能出现无解的情况。

二分区间法求解求解比较稳定，但是其速度比较慢。有一种思路是将二分区间法和牛顿迭代法结合，先计算一个粗略的初始值，再用二分区间法求解求解比较稳定，但是其速度比较慢。有一种思路是将二分区间法和牛顿迭代法结合，先计算一个粗略的初始值，再用牛顿迭代法求解，以加快算法速度。