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写在前面

最近看论文需要用到偏序集的有关概念, 在这里先梳理一下, 方便以后的使用. 主要参考的书籍是Stanley的经典名著《计数组合学(第一卷)》.

下面若不特别指明, 均用PPP代表偏序集.

定义

偏序集(partially-ordered set, poset)PPP是一个集合, 连同一个记为≤\leq≤(≤P\leq_P≤P)的二元关系, 满足下面的三条公理:

对所有的x∈Px\in Px∈P, x≤xx\leq xx≤x(自反性).
如果x≤yx\leq yx≤y 且y≤xy\leq xy≤x, 则x=yx=yx=y(反对称性).
如果x≤yx\leq yx≤y且y≤zy\leq zy≤z, 则x≤zx\leq zx≤z(传递性).

偏序集PPP中的两个元素x,yx,yx,y可比, 如果x≤yx\leq yx≤y或者y≤xy\leq xy≤x, 否则称其为不可比的.
偏序集P,QP,QP,Q同构:
P,QP,QP,Q之间存在一个保持序关系的双射ϕ:P⟶Q\phi:\ P\longrightarrow Qϕ: P⟶Q使得他的逆也保持序关系. 即:
在P中x≤y⟺在Q中ϕ(x)≤ϕ(y).在P中x\leq y\iff 在Q中\phi(x)\leq\phi(y). 在P中x≤y⟺在Q中ϕ(x)≤ϕ(y).

弱子偏序集: 偏序集PPP的子集QQQ连同QQQ上满足"如果在QQQ中有x≤yx\leq yx≤y, 则在PPP中x≤yx\leq yx≤y"的偏序关系, 则QQQ为PPP的弱子偏序集.
加细: 若QQQ是PPP的弱子偏序集, 且作为集合有P=QP=QP=Q, 则称PPP是QQQ的加细.
诱导子偏序集: PPP的子集连同QQQ上的偏序关系:“∀x,y∈Q\forall x,y\in Q∀x,y∈Q, 在QQQ中有x≤y⟺x\leq y\iffx≤y⟺在PPP中有x≤yx\leq yx≤y”.
诱导序: QQQ是PPP的诱导子偏序集, 则QQQ具有诱导序. 有限偏序集PPP恰好有2∣P∣2^{|P|}2∣P∣个诱导子偏序集.
局部有限偏序集: 偏序集PPP的任一区间都是有限的. (可完全由其覆盖关系所确定)
凸子偏序集: 若在偏序集PPP中有x<y<zx<y<zx<y<z且x,z∈Qx,z\in Qx,z∈Q, 就有y∈Qy\in Qy∈Q, 此时区间也是凸的.

yyy覆盖xxx: 设x,y∈Px,y\in Px,y∈P, 若x<yx<yx<y且不存在z∈Pz\in Pz∈P使得x<z<yx<z<yx<z<y. 充要条件:x<yx<yx<y且[x,y]={x,y}[x,y]=\{x,y\}[x,y]={x,y}.
(有限偏序集的)Hasse图: 顶点为PPP中元素, 边为覆盖关系, 并且若x<yx<yx<y则yyy绘制在xxx"上面"的图形.

Hasse图的一些例子, 可以参考我的前面的博客. 含有四个元素的偏序集有16个, Hasse图如下图所示

偏序集PPP具有0^\hat 00^: 若存在某个元素0^∈P\hat0\in P0^∈P使得对所有的x∈Px\in Px∈P都有x≥0^x\geq \hat0x≥0^.
偏序集PPP具有1^\hat 11^: 若存在某个元素1^∈P\hat1\in P1^∈P使得对所有的x∈Px\in Px∈P都有x≤1^x\leq \hat1x≤1^.
P^\hat PP^: 表示在PPP中加入0^,1^\hat0,\hat10^,1^得到的偏序集(不管PPP本身是否含有0^\hat00^和1^\hat11^).

若x,y∈Px,y\in Px,y∈P, 那么x,yx,yx,y的上界为满足z≥x,z≥yz\geq x,z\geq yz≥x,z≥y的元素z∈Pz\in Pz∈P.
x,yx,yx,y的最小上界为x,yx,yx,y的上界zzz, 使得对x,yx,yx,y的每一个上界www, 都有w≥zw\geq zw≥z.
若x,yx,yx,y最小上界存在, 则唯一, 记为x∨yx\vee yx∨y, 同理, 最大下界记为x∧yx\wedge yx∧y.
格(lattice): 是一个偏序集LLL, 其中每一对元素的最小上界和最大下界都存在.
格满足的一些性质:
{a.运算∨,∧是结合,交换,幂等的b.x∧(x∨y)=x=x∨(x∧y)c.x∧y=x⟺x∨y=y⟺x≤y\begin{cases}a.运算\vee,\wedge是结合,交换,幂等的\\b. x\wedge(x\vee y)=x=x\vee(x\wedge y)\\c. x\wedge y=x\iff x\vee y=y\iff x\leq y\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧a.运算∨,∧是结合,交换,幂等的b.x∧(x∨y)=x=x∨(x∧y)c.x∧y=x⟺x∨y=y⟺x≤y

链(chain, 全序集,线性序集)

指任意两个元素都可以比较大小的偏序集. 例如[n]=1,2,...,n[n]={1,2,...,n}[n]=1,2,...,n及其上的普通序关系, 记为n\mathbf {n}n.
偏序集PPP的子集CCC为链, 若CCC 作为PPP的子偏序集的时候是链.
偏序集PPP中的链CCC为饱和的(不可加细的), 如果不存在z∈P−Cz\in P-Cz∈P−C使得对于CCC中某两个元素x,yx,yx,y有x<z<yx<z<yx<z<y, 并且C∪{z}C\cup\{z\}C∪{z}仍然构成链. (有点像上确界的定义, 没办法再塞进去一个元素)
局部有限偏序集中的链x0<x1<⋯<xnx_0<x_1<\cdots<x_nx0<x1<⋯<xn是饱和的, ⟺\iff⟺对1≤i≤n1\leq i\leq n1≤i≤n有xix_ixi覆盖xi−1x_{i-1}xi−1.
有限链的长度ℓ(C):=ℓ(C)=∣C∣−1\ell(C):=\ell(C)=|C|-1ℓ(C):=ℓ(C)=∣C∣−1.
★\bigstar★有限偏序集PPP的长度(秩)定义为ℓ(P):=max⁡{ℓ(C):C为P的链}\ell(P):=\max\{\ell(C):\ C为P的链\}ℓ(P):=max{ℓ(C): C为P的链}.
偏序集的区间[x,y][x,y][x,y]的长度记为ℓ(x,y)\ell(x,y)ℓ(x,y).
★\bigstar★秩为nnn的分次偏序集: 若偏序集PPP的所有极大链都具有相同长度nnn. 此时存在唯一秩函数ρ:P⟶{0,1,...,n}\rho:P\longrightarrow\{0,1,...,n\}ρ:P⟶{0,1,...,n}, 满足:
1. 若xxx是PPP的极小元, 则ρ(x)=0\rho(x)=0ρ(x)=0;
2. 若在PPP中有yyy覆盖xxx, 则ρ(y)=ρ(x)+1\rho(y)=\rho(x)+1ρ(y)=ρ(x)+1.
如果ρ(x)=i\rho(x)=iρ(x)=i, 称元素xxx具有秩iii.
★\bigstar★偏序集的秩生成函数: 对秩为nnn的分次偏序集PPP, 其中有pip_ipi个元素的秩为iii, 则PPP的秩生成函数为:
F(P,q)=∑i=0npiqi.F(P,q)=\sum_{i=0}^np_iq^i. F(P,q)=i=0∑npiqi.
偏序集的可重链: 具有重复元素的链, 即基集为PPP的某个链的可重集合.
反链(Sperner族, 集群): 偏序集PPP的子集AAA, 其中任意两个不同元素不可比较.

序理想

PPP的序理想(半理想, 下集, 下降子集): 满足下列条件的PPP的子集. (有点像左开右闭区间)
若x∈I且y≤x,则y∈I.若x\in I 且 y\leq x, 则y\in I. 若x∈I且y≤x,则y∈I.
对偶序理想(滤子): 满足下列条件的PPP的子集. (有点像左闭右开区间)
若x∈I且y≥x,则y∈I.若x\in I 且 y\geq x, 则y\in I. 若x∈I且y≥x,则y∈I.
偏序集PPP有限时, PPP的反链AAA和序理想III之间存在一一对应.
也就是说, AAA为III的极大元构成的集合, 而
I={x∈P:对某个y∈A有x≤y}.(*)I=\{x\in P:\ 对某个y\in A有x\leq y\}.\tag{*} I={x∈P: 对某个y∈A有x≤y}.(*)
偏序集PPP的所有序理想按照包含关系排序, 构成一个偏序集, 记为J(P)J(P)J(P).
AAA生成III: 若序理想III和极大元所成集合AAA之间满足(∗)(*)(∗)式. 若A={x1,...,xk}A=\{x_1,...,x_k\}A={x1,...,xk}, 记I=⟨x1,...,xk⟩I=\langle x_1,...,x_k\rangleI=⟨x1,...,xk⟩为由AAA生成的序理想.
主序理想: 序理想⟨x⟩\langle x\rangle⟨x⟩为由xxx生成的主序理想, 记为AxA_xAx.
主对偶序理想: Vx={y∈P:y≥x}V_x=\{y\in P:\ y\geq x\}Vx={y∈P: y≥x}表示由xxx生成的主对偶序理想.

偏序集上的运算

直和(不交并): 即定义在P∪QP\cup QP∪Q上的偏序集, 记为P+QP+QP+Q, 指两不相交集合P,QP,QP,Q上定义的偏序集, 使得在P+QP+QP+Q中有x≤yx\leq yx≤y.
- 即在P+QP+QP+Q中, 或者有∀x,y∈P,x≤Py\forall x,y\in P,x\leq_P y∀x,y∈P,x≤Py, 或者有∀x,y∈Q,x≤Qy\forall x,y\in Q,x\leq_Q y∀x,y∈Q,x≤Qy.
- 若一个偏序集不是两个非空偏序集的不交并, 这称之为连通的.
- PPP 和自身的nnn次不交并记为nPnPnP.
- 一个nnn元反链同构于n1n\mathbf{1}n1.
有序和: 即定义在P∪QP\cup QP∪Q上的偏序集记为P⊕QP\oplus QP⊕Q, 使得在P⊕QP\oplus QP⊕Q中x≤yx\leq yx≤y.
- 即在P⊕QP\oplus QP⊕Q中, 或者有∀x,y∈P,x≤Py\forall x,y\in P,x\leq_P y∀x,y∈P,x≤Py, 或者有∀x,y∈Q,x≤Qy\forall x,y\in Q,x\leq_Q y∀x,y∈Q,x≤Qy, 或者有x∈P,y∈Qx\in P,y\in Qx∈P,y∈Q.
- 一条nnn元链由n=1⊕1⊕⋯⊕1⏟n个\bf n=\underbrace{1\oplus1\oplus\cdots\oplus1}_{\mathrm n\text{个}}n=n个1⊕1⊕⋯⊕1给出.
- 串并联偏序集: 在161616个四元偏序集中, 恰有一个是不能由偏序集1\bf11通过直和运算与有序和运算构造出来.
  
  这个偏序集为上图中的第二行的最后一个, 显然他不能够通过直和以及有序和运算生成.
直积(笛卡尔积): 定义在集合{(x,y):x∈P,y∈Q}\{(x,y):\ x\in P,y\in Q\}{(x,y): x∈P,y∈Q}上的偏序集P×QP\times QP×Q, 满足在P×QP\times QP×Q中有(x,y)≤(x′,y′)(x,y)\leq (x',y')(x,y)≤(x′,y′).
- 即∀x,x′∈P,x≤Px′\forall x,x'\in P,x\leq_P x'∀x,x′∈P,x≤Px′, ∀y,y′∈Q,y≤Qy′\forall y,y'\in Q,y\leq_Q y'∀y,y′∈Q,y≤Qy′.
- PPP和它自身的nnn次直积记为PnP^nPn.
- P×Q≅Q×PP\times Q\cong Q\times PP×Q≅Q×P.
- 如果P,QP,QP,Q是分次的且秩生成函数为F(P,q)F(P,q)F(P,q)和F(Q,q)F(Q,q)F(Q,q), 则P×QP\times QP×Q也是分次的且:
  F(P×Q,q)=F(P,q)F(Q,q).F(P\times Q,q)=F(P,q)F(Q,q). F(P×Q,q)=F(P,q)F(Q,q).
有序积: P⊗QP\otimes QP⊗Q, 定义在{(x,y):x∈P,y∈Q}\{(x,y):\ x\in P,y\in Q\}{(x,y): x∈P,y∈Q}上, 满足(x,y)≤(x′,y′)(x,y)\leq (x',y')(x,y)≤(x′,y′), 若x=x′x=x'x=x′且y≤y′y\leq y'y≤y′, 或x<x′x<x'x<x′.
- 如果P,QP,QP,Q是分次的并且QQQ的秩为rrr, 则对于有序积, 有
  F(P⊗Q,q)=F(P,qr+1)F(Q,q).F(P\otimes Q,q)=F(P,q^{r+1})F(Q,q). F(P⊗Q,q)=F(P,qr+1)F(Q,q).
对偶: 记为P∗{P^*}P∗, 是与PPP定义在同一集合上的偏序集P∗P^*P∗, 但在P∗P^*P∗中x≤P∗y⟺y≤Pxx\leq_{P^*} y\iff y\leq_P xx≤P∗y⟺y≤Px.
- 自对偶: P≅P∗P\cong P^*P≅P∗.
  - 下面是所有含四个元素的偏序集中的自对偶图
  - 这里是所有含有四个元素的偏序集中的非自对偶偏序集, 共有8个, 显然这些偏序集的对偶都是成对出现的

格(lattice)

格是这样一类偏序集: 其中每一对元素的最小上界和最大下界都存在的偏序集.

子集格

n∈Nn\in \mathbb{N}n∈N, [n][n][n]的所有子集的集合2[n]2^{[n]}2[n]构成偏序集BnB_nBn, 称为子集格.

因子格

n∈Pn\in \mathbb Pn∈P,(P\mathbb PP为正整数) 定义i≤ji\leq ji≤j, 若jjj可以被iii整除, 记为i∣ji\,|\,ji∣j, nnn的所有正整数因子以"自然的"方式成为一个偏序集DnD_nDn.

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