Dijkstra算法原理及代码实现

算法简介

Dijkstra算法是一种全局路径规划算法，是从一个节点遍历其余各节点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。

算法思想

设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中节点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的节点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将该节点加入到集合S中，直到全部节点都加入到S中，算法就结束了）；
第二组为其余未确定最短路径的节点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的节点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各节点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何节点的最短路径长度。

示例分享

来看下面一幅图，以D节点为源点，依次遍历其他所有节点。

每个节点的信息如下图所示：

算法更新流程

MATLAB实现

clc
clear
close all%% 图定义
% 根据节点的邻近节点表及字母节点-数字节点对应表，构造节点元胞数组
nodes_dist = cell(0);
nodes_dist(1,:) = {1, [2, 6, 7], [12, 16, 14]};
nodes_dist(2,:) = {2, [1, 3, 6], [12, 10, 7]};
nodes_dist(3,:) = {3, [2, 4, 5, 6], [10, 3, 5, 6]};
nodes_dist(4,:) = {4, [3, 5], [3, 4]};
nodes_dist(5,:) = {5, [3, 4, 6, 7], [5, 4, 2, 8]};
nodes_dist(6,:) = {6, [1, 2, 3, 5, 7], [16, 7, 6, 2, 9]};
nodes_dist(7,:) = {7, [1, 5, 6], [14, 8, 9]};%% 算法初始化
% S/U的第一列表示节点编号
% 对于S，第二列表示从源节点到本节点已求得的最小距离，不再变更；
% 对于U，第二列表示从源节点到本节点暂时求得的最小距离，可能会变更
S = [4, 0];
U(:,1) = [1, 2, 3, 5, 6, 7];
U(:,2) = [inf, inf, 3, 4, inf, inf];% 最优路径及暂时最优路径的初始化
path_opt = cell(7,2);
path_opt(4,:) = {4, 4};path_temp = cell(7,2);
path_temp(3,:) = {3, [4, 3]};
path_temp(4,:) = {4, 4};
path_temp(5,:) = {5, [4, 5]};%% 循环遍历所有节点
while ~isempty(U)% 在U集合找出当前最小距离值及对应节点,并移除该节点至S集合中[dist_min, idx] = min(U(:,2));node_min = U(idx, 1);S(end+1,:) = [node_min, dist_min];U(idx,:) = [];% 将最小距离值的节点添加到最优路径集合path_opt(node_min,:) = path_temp(node_min,:);%% 依次遍历最小距离节点的邻节点，判断是否在U集合中更新邻节点的距离值for i = 1:length(nodes_dist{node_min, 2})% 需要判断的节点node_temp = nodes_dist{node_min, 2}(i);% 找出U集合中节点node_temp的索引值idx_temp = find(node_temp == U(:,1));% 判断是否更新if ~isempty(idx_temp)if dist_min + nodes_dist{node_min, 3}(i) < U(idx_temp, 2)U(idx_temp, 2) = dist_min + nodes_dist{node_min, 3}(i);% 更新暂时最优路径path_temp{node_temp, 1} = node_temp;path_temp{node_temp, 2} = [path_opt{node_min, 2}, node_temp];                endendend
end

C++实现

Dijkstra.h

#pragma once
#include<iostream>
#include<stack>
using namespace std;#define MAX_VERTEX_NUM 20  //顶点的最大个数
#define INFINITE 9999      //定义无穷大的数值
#define VRType int         //顺序存储结构中，对于无权图，用 1 或 0 表示是否相邻；对于带权图，直接为权值
#define VertexType int     //图中顶点的数据类型class MGraph //图的顺序存储结构
{public:VertexType vexs[MAX_VERTEX_NUM]; //一维数组，存储图中顶点数据VRType arcs[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; //二维数组，记录顶点之间的关系 //对于无权图，用 1 或 0 表示是否相邻；对于带权图，直接为权值int vexnum;   //记录图的顶点数int arcnum; //记录图的弧（或边）数
};class Dijkstra
{public:Dijkstra();//构造函数，初始化邻接矩阵int LocateVex(MGraph &G, VertexType v); //根据顶点本身数据，判断出顶点在二维数组中的位置void CreateUDN(MGraph &G);//构造无向带权图void PrintGrapth(MGraph G); //打印整个图void ShortestPath_Dijkstra();public:MGraph G;//创建图的对象int V0 = 0;//起点下标，初始化为0，也就是默认输入的第一个值就是起点int Patharc[MAX_VERTEX_NUM];//存储最短路径下标，也就是每个顶点被访问后的前驱顶点的下标；int Distance[MAX_VERTEX_NUM];//存储到各点最短路径的权值之和bool final[MAX_VERTEX_NUM];//标志位，final[w]=true表示已经求得V0到Vw的最短路径，w这个顶点已经被访问；int k;//临时下标int min;//min是临时最短路径的权值（最小权值之和）；stack<int> path;//用于打印
};

Dijkstra.cpp

#include "Dijkstra.h"Dijkstra::Dijkstra()//构造函数，初始化邻接矩阵
{CreateUDN(G);//在初始化时就创建图   //遍历所有顶点，更新Distance、Patharc和final三个数组，更新起点信息；for (int i = 0; i < G.vexnum; i++){final[i] = false;//全部顶点先初始化为未找到最短路径；Distance[i] = G.arcs[V0][i];//将与V0邻接的顶点所构成的边加上权值，其他保持为INFINITE；也就是读取邻接矩阵里的信息，赋值到Distance数组中；Patharc[i] = V0;//前驱顶点的下标先全部置为V0；//这里不能初始化为0或者-1，后续会出错，要初始化为源点；}Distance[V0] = 0;//起点就是V0，V0到V0距离为0；final[V0] = true;//起点V0已经找到最短路径；cout << endl;PrintGrapth(G);//打印整个图
}int Dijkstra::LocateVex(MGraph &G, VertexType v) //根据顶点本身数据，判断出顶点在数组中的位置
{//遍历一维数组，找到变量vfor (int i = 0; i < G.vexnum; i++){if (G.vexs[i] == v){return i;//找到了}}//如果找不到，输出提示语句，返回-1cout << "no such vertex." << endl;return -1;
}void Dijkstra::CreateUDN(MGraph &G)//构造无向带权图
{int v;int a;reInput1:cout << "请输入网的顶点数：" << endl;cin >> v;if (v > MAX_VERTEX_NUM || v <= 0){cout << "顶点数超出范围，请重新输入" << endl;goto reInput1;}reInput2:cout << "请输入网的边数：" << endl;cin >> a;if (a > (v * (v - 1) / 2) || a <= 0){cout << "边数超出范围，请重新输入" << endl;goto reInput2;}G.vexnum = v;G.arcnum = a;int vex;for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) //输入每个顶点的元素数据，给一维数组赋值{cout << "请输入该顶点的元素：" << endl;cin >> vex;G.vexs[i] = vex;}for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) //初始化矩阵，给矩阵赋值{for (int j = 0; j < G.vexnum; j++){G.arcs[i][j] = INFINITE;//先把矩阵的每个元初始化为无穷}}for (int i = 0; i < G.arcnum; i++) //创建顶点之间的连接关系，更新矩阵{VertexType v1, v2;VRType w;cout << "请输入要创建关系的两个顶点元素：" << endl;cin >> v1;cin >> v2;cout << "请输入这两个顶点之间边的权值：" << endl;cin >> w;int n = LocateVex(G, v1);int m = LocateVex(G, v2); //确定顶点位置if (m == -1 || n == -1){cout << "no this vertex." << endl;//输入的两个顶点至少有一个不存在return;}G.arcs[n][m] = w;//权值赋值G.arcs[m][n] = w;//矩阵对称}for (int i = 0; i < G.vexnum; i++){for (int j = 0; j < G.vexnum; j++){if (i == j) //对角线上的元置0{G.arcs[i][j] = 0;}}}
}void Dijkstra::PrintGrapth(MGraph G) //打印整个图
{cout << "图的邻接矩阵是：" << endl;for (int i = 0; i < G.vexnum; i++){for (int j = 0; j < G.vexnum; j++){cout << G.arcs[i][j] << ", ";}cout << endl;}cout << endl;
}void Dijkstra::ShortestPath_Dijkstra()
{for (int i = 1; i < G.vexnum; i++)//v从1开始，因为V0已经确定了，不再考虑；//遍历邻接矩阵的每一列{min = INFINITE;//先让min=无穷，先和无穷比，比无穷小说明有连线，否则没有连线；for (int j = 0; j < G.vexnum; j++)//遍历邻接矩阵的每一行{if (!final[j] && Distance[j] < min)//如果w这个顶点还没有确认最短路径，并且现有的权值之和小于min{k = j;//更新下标min = Distance[j];//更新min}//到这里为止只是更新了两个临时变量，还没有更新三个数组的内容}final[k] = true;//将目前找到的顶点置为ture，也就是k这个顶点已经找到最短路径 //final数组被更新for (int j = 0; j < G.vexnum; j++)//还是遍历每一行，更新当前最短路径前驱顶点和路径值{if (!final[j])//如果w这个顶点还没有确认最短路径，{if (min + G.arcs[k][j] < Distance[j])//并且经过k顶点到达j顶点的路径总和，要小于不经过k顶点、直接到达j顶点的路径；{Distance[j] = min + G.arcs[k][j];//就把最短路径的值更新为经过k顶点的路径总和，也就是选更小的权值和；//Distance数组被更新Patharc[j] = k;//前驱顶点下标更新为k //Patharc数组被更新}}}}cout << endl;/*for (auto i : Patharc){cout << i << " ";}cout << endl;*/ //调试用//打印cout << "Dijkstra算法求出的最短路径是：" << endl;for (int i = 0; i < G.vexnum; i++){if (i != 0 && Distance[i] != INFINITY){cout << "从顶点" << G.vexs[V0] << "到顶点" << G.vexs[i] << "，" << "最短路径权值是：" << Distance[i] << "，最短路径为：";int m = i;while (m != 0){path.push(G.vexs[m]);//入栈m = Patharc[m];//m更新为m的前驱}path.push(G.vexs[V0]);while (!path.empty()){if (path.size() == 1){cout << path.top();//打印最后一个栈元素}else{cout << path.top() << "->";//打印栈顶}path.pop();//出栈}cout << endl;}}cout << endl;
}int main()
{Dijkstra D0; //创建Dijkstra类的对象D0.ShortestPath_Dijkstra();//求最短路径system("pause");return 0;
}

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