行列式的几何意义、计算公式

近期回顾了下行列式的计算方法，以及其几何意义，本文是作者的一点浅薄理解。欢迎朋友们一起交流。
线性代数系列文章见专栏，下面是往期内容：

为什么要学线性代数

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正题：

每一个线性变换都对应着一个变换矩阵，被变换后的空间，相对之前来说也发生了一定的形变，而行列式的意义则是线性变换前后，空间形变的倍数。

以二维空间为例，旋转变换就是一种线性变换(不了解旋转变换的请看上条推送)，其对应的矩阵叫旋转矩阵：

该变换作用在二维空间的任一个向量，相当于将该向量逆时针旋转θ角度，于是该变换可以把整个二维空间旋转θ角度。

因为只是单纯的旋转，面积不发生变化，所以形变的倍数为1，正如该矩阵的行列式，cos^2+sin^2=1。

其他的一些变换，有的将空间伸展，有的将空间挤压，此时形变倍数就不为1了。假设有线性变换矩阵：

该矩阵将二维空间沿着水平方向伸展3倍，垂直方向不变。还是用上一篇推送的例子，假设有如下图形：

可知面积为5，将线性变换矩阵作用于图中的三个向量，比如[-1 3]T

如下图，绿色向量正是由蓝色向量沿水平方向伸展3倍、垂直方向不变得到的向量。

(因为横坐标是负数，所以向左伸展，若是正数则向右伸展，比如向量[3 1]T)

经过该矩阵的作用，上述三角形变为图下所示：

其面积为15，正好是蓝色三角形面积的3倍，而此变换矩阵的行列式等于3，这就验证了之前的结论，即行列式的意义：线性变换后，空间形变的倍数。

取个极端情况：上述矩阵的行列式等于0 ，那么它的意义就是将该二维平面挤压至一条线甚至一个点，面积自然为零。

笔者为了做图方便，只举了水平方向伸展的例子，向其他方向伸展、挤压的情况朋友们可自行画图摸索、证明。

1.低阶行列式

二阶行列式比较简单，记住它的计算方法即可：主对角乘积减去副对角乘积，如下式：

三阶行列式计算公式为：

此公式可用下图来记其规律，实线相连的数相乘，系数为1，虚线相连的数相乘，系数为-1：

(图取自同济教材)

在实际计算中，如果行列式中0元素比较多，可以用按行(列)展开（此方法后面讲），不必记上面的公式。而且，上式也可用展开法得出。

2.全排列和逆序数

在三阶行列式的计算公式中，右侧有六项，每一项都是三个不同行、不同列的元素之积，且每一项的系数有正有负，那么他们之间有什么规律呢？这就涉及到了全排列和逆序数的知识。

全排列：

由高中数学的排列组合可知，n个元素的排列种数为n的阶乘。比如三个数1、2、3，则有六种组合：123、132、231、213、321、312。

逆序数：

对于n个不同的元素，规定一个标准次序（比如从小到大），于是在这n个元素的排列中，当某个元素的先后次序与标准次序不同，就构成1个逆序，一个排列的所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。

逆序数为奇数的排列叫做奇排列，为偶数则叫做偶排列。

上面是课本上的定义，对于大一的同学或者之前没好好学但是想考研的同学，初次看这个定义可能不太好理解，有点懵，那么看下面计算逆序数的方法和几个例子就容易理解了：

假设1~n这n个自然数，规定从小到大为标准次序，对于任意一个元素x(x在1到n之间)，如果比x大且排在x前面的元素有t个，那么就说x的逆序数是t，这n个数的逆序数之和为这个排列的逆序数。

例1：求32514这个排列的逆序数。(同济例题)

解：

对于3，排在第一位，它的前面没有比它大的数，所以其逆序数为0；

对于2，2的前面比它大的数只有一个3，所以其逆序数为1；

对于5，它排在第三位，前面的3和2都比它小，所以其逆序数为0；

对于1，它排在第四位，前面的3、2、5都比它大，所以其逆序数为3；

对于4，它排在最后一位，前面比它大的数只有5，所以其逆序数为1；

于是，这个排列的逆序数为0+1+0+3+1=5。

上面的解法是看该元素前面有几个比它大的数，还有另一种解法，看该元素后面有几个比它小的数，还是上个题，可以这样算：

对于3，其后面有两个数比它小，分别是1、2，所以其逆序数为2；

对于2，其后面只有一个数比它小，所以其逆序数为1；

对于5，其后面有两个数1、4比它小，所以其逆序数为2；

对于1和4，其逆序数均为0；

于是，这个排列的逆序数等于2+1+2+0+0等于5。

（注意，上述都是基于标准次序为从小到大顺序来计算的）

了解了逆序数的计算方法后，我们来看行列式的计算公式与逆序数有什么关系，此处以三阶为例，为了方便，下面再贴出三阶行列式的公式：

可以看出，右侧的每一项，除了系数外，都可写为

其中第一个下标(行标)是标准次序123，p1、p2、p3 是1、2、3的某个排列，前文提到，这三个数的排列有六种，所以得出上式右侧的六个乘积项，而系数的计算方法为：

p1、p2、p3为偶排列时，系数为1；

p1、p2、p3为奇排列时，系数为-1；

可以验证，系数为1的三个项，列标分别为123、231、312，其逆序数分别为0、2、2，是偶数；系数为-1的三个项，读者自行验证。

所以，各项的系数可以表示为(-1)t ,其中t是该项各元素列标排列的逆序数。

本文以三阶为例，高阶的依此类推。

（关于逆序数和行列式的关系，某一年考研中考过，具体哪年忘记了...）

本文首发于微信公众号：数字自修