信息学奥赛一本通（1195：判断整除）

2024-04-03 04:55:44

1195：判断整除

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【题目描述】

一个给定的正整数序列，在每个数之前都插入+号或−号后计算它们的和。比如序列：1、2、4共有8种可能的序列：

(+1) + (+2) + (+4) = 7
(+1) + (+2) + (-4) = -1
(+1) + (-2) + (+4) = 3
(+1) + (-2) + (-4) = -5
(-1) + (+2) + (+4) = 5
(-1) + (+2) + (-4) = -3
(-1) + (-2) + (+4) = 1
(-1) + (-2) + (-4) = -7

所有结果中至少有一个可被整数k整除，我们则称此正整数序列可被k整除。例如上述序列可以被3、5、7整除，而不能被2、4、6、8……整除。注意：0、−3、−6、−9……0、−3、−6、−9……都可以认为是3的倍数。

【输入】

输入的第一行包含两个数：N(2<N<10000)和k(2<k<100)，其中N代表一共有N个数，k代表被除数。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都0到10000之间（可能重复）。

【输出】

如果此正整数序列可被k整除，则输出YES，否则输出NO。（注意：都是大写字母）

【输入样例】

3 2
1 2 4

【输出样例】

NO

【分析】

设变量fi,j表示前 i 个数的和是否可以被 j（0不可以，1可以），如果要转移到fi,j的状态，那么就要在前i-1个数已经入列的基础上再加第 i 个数，而第 i 个数又只有正和负两种情况，所以只考虑是由加第 i 个数和减第 i 个数就好了。

要想加ai得到余数为 j 的情况，那么前 i-1个数必须满足余数可以为 j-ai。反之，若减ai得到余数可以为 j，那么前 i-1个数必须满足余数可以为j+ai。所以，要想ai入列后，余数为j，那么上述两个条件满足一个就好。

列方程：fi,j = fi-1,j-ai || fi-1,j+ai

边界条件：f0,0=1(0个元素，结果为零，所以不管k为多少，余数都为零)

感谢题解：https://www.cnblogs.com/Wild-Donkey/p/12219856.html

【参考代码】

#include <stdio.h>
#define N 10010
#define M 110
int a[N];
int f[N][M];
int main()
{int i,j,k,n,tmp;scanf("%d%d",&n,&k);for(i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&tmp);tmp%=k;a[i]=tmp;}f[0][0]=1;    //递推边界for(i=1;i<=n;i++)for(j=0;j<k;j++)f[i][j]=(f[i-1][(j-a[i]+k)%k]||f[i-1][(j+a[i]+k)%k]); //递推公式 if(f[n][0])printf("YES\n");elseprintf("NO\n");return 0;
}

http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1195

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