在上期内容《高考倒计时决战60日——第四集：线性规划概念梳理及对应解题策略》中，叶老师向大家再次介绍了一下线性规划的有关概念以及对应高考题的解题策略，并向大家再次强调了三种目标函数的化简以及取到最值的条件，大家可以回顾一下！今天是高考倒计时第56天，也是汶川大地震第十二年纪念日，因此同学们在学习的过程中，应该想想十二年前，那些遭受汶川大地震苦难的同胞们，然后再想想现在我们安定和平的生活，你们是不是应该珍惜现在安定的生活以及学习的机会，好好学习，争取在高考中考出好成绩呢？好了，话不多说，今天叶老师将向大家推出高考倒计时决战60日系列的第五集：对三角函数的深入理解以及换元法的应用。希望能够对大家有所帮助！

作者简介：叶老师，笔名“动人定理”，专职教师，数学学科研究员，目前担任机构数学教研组组长及学生学业规划师。曾供职合作于多家上市教育公司，对中高考数学考点有着深入认知与理解。拥有超过10000小时的高三毕业班学生一对一辅导经验。

导读

对于三角函数高考的探索，叶老师在之前的文章《由浅入深，化角为弧，助你了解高考三角函数二三事》中就曾经提到过：要想学好三角函数，同学们就应该先建立起化角为弧的思想。并且你们应该明确这样一点：正是因为引入了任意角和弧度制的概念，因此任意角度才能够在x轴上与每个实数一一对应，于是乎才能形成角度与其对应正弦值，余弦值以及tan值之间的函数关系。又由于任意角旋转360°后又回到原处，使得其张开的跨度与原本相同，因此才形成了三角函数的周期。

当明确了这点之后：再复习三角函数的相关知识，同学们就能够更加得心应手了。

下面我们再度回顾一下三角函数的有关知识点：

通过上述的知识点我们可以发现：同学们在复习三角函数这个章节的知识时，除了要养成之前所讲的化角为弧的意识以外，还必须掌握诸多公式例如：三角函数与单位圆的定义式，三角恒等关系式，诱导公式三角函数周期，对称轴，对称中心，单调区间等等！不过好在这些公式都不需要死记硬背。下面我就先跟大家讲一下有关公式的一些推导技巧：

①三角函数定义式的推导

②诱导公式的推导

③任意三角函数周期，对称轴，对称中心，单调区间的求解

以y=sin(2x+π/4)为例

(1)单调增区间的求解

(2)单调减区间的求解

(3)对称轴的求解

(4)对称中心的求解

PS:从上述图片中我们可以得知：换元法对于三角函数各种参量的求解还是很有效的一种方法，这体现了一种整体思想。

全国一卷近五年来对三角函数的考察

从上述考题中，我们可以看出：三角函数在高考中考得还是相对基础的，主要以三角函数的性质以及平移为考点，因此在大多数情况下，同学们只要掌握叶老师前面所写的那些公式与技巧一般情况下都能对这些题目进行求解。

但是值得同学们注意的是2016年以及2014年的这两道考题，这两道考题均涉及到了w的取值范围问题，并且在这两题中所给的函数图像很难被描述出来，我们先来看看这两题的解析过程：

①2014年全国一卷三角函数

从这道题中我们可以看出：图示的三角函数只有一个未知量w，并且初相固定，因此我们可以采用换元法，将f(x)的解析式转化为f(T)=sinT,这样就可以用五点法，准确地描述出图像，这样即使在换元之后范围带参数，我们也不慌，因为图像已经完全确定了。

②2016年全国一卷三角函数

从这道题中，我们可以得知：对于两个参量的三角函数并且限制条件多的取值范围问题，不可以直接换元，必须结合条件，先算出φ然后再使用换元法求解。

此外同学们在解复杂三角函数问题时有时候可以结合导数这样会更加方便快捷。

下面我们来讲讲三角函数各条件与导数之间的联系：

另外通过这两道题，叶老师想通过一张图向大家具体说明一下对待三角函数w取值范围问题在什么情况下可使用换元法求解以及换元法具体能解决什么问题：

写在文末

因此通过这篇文章我们可以得知：三角函数在高考中最难的题便是取值范围问题了，对待这类问题我们通常是结合条件使用换元法进行求解，因为在三角函数中使用换元法可以使函数的图像完全确定，这样即便换元后区间变了，也能在图像中轻松表示出来。另外叶老师最后谈谈个人对三角函数的深入理解，以便在文末中起到一个首尾呼应画龙点睛的作用：

①三角函数是一类研究角度与对应三角函数值的一类函数，由于角度可以无限旋转360°，并且在高中可用弧度制将所有的角度都用对应的实数表示，因此三角函数就变成了一个具有周期性的函数。

②三角函数中的w与物理中的角速度其实是一个概念，w越大周期越小，所对应的单调区间的长度也就越小，因此换元以后由于周期固定了，区间端点带w，因此当w取到最大值时，必定区间长度会最大，与原来的结果相反。

③三角函数中的φ表示初相，三角函数的纵截距为Asinφ，它的正负可决定A的正负！

④三角函数毕竟也是函数，用求导的方法求解对称轴与单调性也不失为一种重要的方法！

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