算法训练营02-预备知识和时间复杂度分析

文章目录

1. 准备知识
- 1. 拓展资料
- 2. 自顶向下编写算法
2. 时间复杂度的分析
- 1.时间复杂度种类
- 2. 时间复杂度的分析方法
- 3. 主定理理论，时间复杂度计算

1. 准备知识

1. 拓展资料

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2. 自顶向下编写算法

自顶向下的方式,使用方法来抽象主干逻辑

2. 时间复杂度的分析

1.时间复杂度种类

时间复杂度，最常见是7种

O(1) 常数
O(logn) 对数
O(n) 线性
O(n^2) 平方
O(n^3) 立方
O(2^n) 指数
O(n!) 阶乘

2. 时间复杂度的分析方法

个人在学习中发现，时间复杂度的分析很多时候没有唯一的方式，首先，关于时间复杂度的理解，我认为可以理解为随着问题规模的增长，需要的时间增长的级别
但是具体的分析方式确实有很多种类

简单的分析，比如对于sum(n)的算法，直接看n=1,和n=k之间的差别
1. 如果使用循环累加的话，那么n=k的话，时间复杂度也会从t编程kt,所以时间复杂度则是O(n)
2. 如果使用数学公式进行计算的话，那么n=k和n=1的计算方式是一样的
使用递推方式，比如斐波那契的最原始的方式f(n)=f(n-1)+f(n-2)的递归方式，所以T(n)=T(n-1)+T(n-2),所以T(n)=2^n*T(1),所以T(n)=2^n
使用树状图类分析，把merge sort 分析，拆成一个树，进行分析

我们只需要知道这棵树的高度hhh，用高度hhh乘以每一层的时间消耗nnn，就可以得到总的时间复杂度O(n∗h)O(n*h)O(n∗h)
使用主定理(master method)分析

3. 主定理理论，时间复杂度计算

主定理最早出现在《算法导论》中，提供了分治方法带来的递归表达式的渐近复杂度分析。
规模为n的问题通过分治，得到a个规模为n/b的问题，每次递归带来的额外计算为f(n)
那么问题的时间复杂度为：
T(n) = aT(n/b)+f(n)

设c*=logb(a)
那么就可以得到问题的复杂度为：

如果c<c*

f(n)=O(n^c),
c<c*
则T(n)=O(n^c*)

举例，二叉树的遍历，时间复杂度为O(n)
对应的

a=2,b=2
c*=1
f(n)=O(1)
T(n)=2(n/2)+O(1)
因为满足c<c*则T(n)=O(n)

如果c==c*

f(n)=O(n^c * (log(n))^k),且c==c*
则
T(n)=O(n^c* * (log(n))^(k+1))这里的关键就是f(n)中的n的指数等于logb(a)这个条件也被描述为
f(n)=O(n^c* * (log(n))^k)

举例，merge sort,时间复杂度为nlog(n)

a=2,b=2
c*=1
f(n)=O(n),则由f(n)=O(n^c* * (log(n))^k)可以推断出来k=0
所以
T(n)=nlog(n)

二分查找

a=1,b=2
c*=0
f(n)=O(1),所以c=0,k=0
c==c*
T(n)=O(n^0 * log(n)^1 = O(log(n))

如果 c>c*

f(n)=O(n^c)
且c>c*
则T(n)=O(f(n))

举例,暂无

注意，主定理的使用也是万能的，他只使用于，子问题划分为了独立的子问题的情况，子问题之间不能再有交叉
在斐波那契数列中,主定理就是无法使用的

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