定义：一个n × n的实对称矩阵 M 是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有 zTMz > 0。

正定矩阵判定：

1. 矩阵M的所有的特征值 λi都是正的。根据谱定理，M必然与一个实对角矩阵D相似（也就是说M = P − 1DP，其中P是幺正矩阵，或者说M在某
个正交基可以表示为一个实对角矩阵）。因此，M是正定阵当且仅当相应的D的对角线上元素都是正数。
2. 半双线性形式

定义了一个Cn上的内积。实际上，所有Cn上的内积都可看做由某个正定阵通过此种方式得到。
3. M是n个线性无关的n维向量 的Gram矩阵，其中的k为某个正整数。更精确地说，M定义为：

换句话说，M具有A*A的形式，其中A不一定是方阵，但需要是单射的。
4. M的所有顺序主子式，也就是顺序主子阵的行列式都是正的（西尔维斯特准则）。明确来说，就是考察下列矩阵的行列式：

  • M左上角1× 1的矩阵
  • M左上角2× 2矩阵
  • ...
  • M自身。

对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子：
5. 存在唯一的下三角矩阵 L，其主对角线上的元素全是正的，使得：

M = LL * .

其中L * 是L的共轭转置。 T这一分解被称为Cholesky分解。

正定矩阵性质：

若M为半正定阵，可以写作。如果M是正定阵，可以写作M > 0。这个记法来自泛函分析，其中的正定阵定义了正算子。

对于一般的埃尔米特矩阵，M、N，当且仅当。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地，可以定义 M > N。

1.

每个正定阵都是可逆的，它的逆也是正定阵。如果 那么 。
2. 如果M是正定阵，r > 0为正实数，那么 rM 也是正定阵。

如果 M、N 是正定阵，那么和M + N、乘积 MNM 与 NMN 都是正定的。如果 MN = NM，那么 MN 仍是正定阵。
3. 如果M = (mij) > 0 那么主对角线上的系数mii 为正实数。于是有tr(M) > 0。此外还有
4. 矩阵M 是正定阵当且仅当存在唯一的正定阵B > 0 使得 B2 = M。根据其唯一性可以记作B = M1 / 2，称B 为M 的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时，如果M > N > 0 那么 M1 / 2 > N1 / 2 > 0.
5. 如果M,N > 0 那么 ，其中 表示克罗内克乘积。
6. 对矩阵M = (mij),N = (nij)，将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为，即，称为M 与 N的阿达马乘积。如果M,N > 0，那么 。如果 M,N 为实系数矩阵，则有如下不等式成立：
7. 设M > 0，N 为埃尔米特矩阵。如果（MN + NM > 0），那么（N > 0）。
8. 如果为实系数矩阵，则。
9. 如果M > 0为实系数矩阵，那么存在δ > 0 使得，其中 I 为单位矩阵。

from: http://hi.baidu.com/macula7/blog/item/8446c722dfc2db5a9922ed46.html

正定矩阵（用于SVM的Mercer定理）相关推荐

  1. 核函数的充要条件-Mercer定理的证明

    核函数的充要条件是K矩阵是半正定的. 将K特征值分解,有V'KV=∧,K=V∧V' 经特征映射将属性值映射到特征空间Ф:xi->sqrt(λ:)*Vi: (根号对角特征值阵*第i点对应的特征向量 ...

  2. SVM分类器原理详解

    SVM分类器原理详解 标签: svm文本分类java 2015-08-21 11:51 2399人阅读 评论(0) 收藏 举报  分类: 数据挖掘 文本处理(16)  机器学习 分类算法(10)  目 ...

  3. July大神---SVM讲解

    支持向量机通俗导论(理解SVM的三层境界) 作者:July :致谢:pluskid.白石.JerryLead. 出处:结构之法算法之道blog. 前言 动笔写这个支持向量机(support vecto ...

  4. 机器学习（四）——SVM（2）

    http://antkillerfarm.github.io/ 拉格朗日对偶(续) 如果w不满足约束,也就是gi(w)>0g_i(w)>0或hi(w)≠0h_i(w)\ne 0.这时由于L ...

  5. SVM支持向量机通俗导论（理解SVM的三层境界）

    神文 转自july:http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/7624837 支持向量机通俗导论(理解SVM的三层境界) 作者:July .致谢:pl ...

  6. 全面的SVM理论讲解

    转载自:https://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/7624837 前言 动笔写这个支持向量机(support vector machine)是费了不 ...

  7. 支理解SVM的三层境界

    支持向量机通俗导论(理解SVM的三层境界) 作者:July .致谢:pluskid.白石.JerryLead. 说明:本文最初写于2012年6月,而后不断反反复复修改&优化,修改次数达上百次, ...

  8. SVM算法（三层境界）

    支持向量机通俗导论(理解SVM的三层境界) 作者:July .致谢:pluskid.白石.JerryLead. 说明:本文最初写于2012年6月,而后不断反反复复修改&优化,修改次数达上百次, ...

  9. svm公式推导及理解

    支持向量机通俗导论(理解SVM的三层境界) 作者:July .致谢:pluskid.白石.JerryLead. 说明:本文最初写于2012年6月,而后不断反反复复修改&优化,修改次数达上百次, ...

最新文章

  1. Python进阶1——一摞纸牌
  2. mysql 回表 覆盖索引_MySQL 的覆盖索引与回表的使用方法
  3. 高阶产品经理的自我修养：项目管理之启动
  4. php foreach id是否存在数组_45个PHP程序性能优化的小技巧，赶紧收藏吧
  5. Android如何获得当前应用显示的Activity
  6. Ubuntu Server 之Apache2 虚拟主机配置指南（个人实践解读）
  7. MyBatis-Plus EntityWrapper的使用 wrapper le ge
  8. swing 状态视图分离_Java Swing模型视图适配器介体
  9. java 把图片插入窗体,JAVA JFrame窗体添加背景图像的两种方法
  10. javscript 创建类的三种方法【转】
  11. mysql关于连接查询
  12. java键盘代码_java中各种类型的键盘输入代码是什么
  13. 计算机怎么连接手机网络,电脑怎么连接手机的热点上网？
  14. linux禁用笔记本键盘,禁用笔记本键盘 Linux
  15. pygame之display模块
  16. 如何在ant 的表单Form.Item下获取自定义表单元素的值
  17. 世界上最简单的会计书—读书笔记
  18. 腾讯云商用密码合规解决方案亮相2021商用密码应用创新高端研讨会，高效护航企业云端数据安全
  19. 安装MySQL---已删除服务，却显示服务已存在
  20. 机器学习（李宏毅）—— Linear Regression

热门文章

  1. 【CSDN】Markdown 如何画分界线
  2. 科大星云诗社动态20210221
  3. Unet项目解析(4): ./src/RetinaNN_predict.py
  4. hdc和hwnd的区别
  5. c++中结构体字符指针成员无法赋值
  6. 【CyberSecurityLearning 16】单臂路由与DHCP中继+ ICMP协议+VTP
  7. The template root requires exactly one element.
  8. NASM 中 SECTION 的默认对齐
  9. 深入理解pthread_cond_wait、pthread_cond_signal
  10. Linux 文件查找命令