概率论与数理统计中的算子半群第一讲 Banach-Steinhaus定理2 Banach-Steinhaus定理的应用

上一讲我们介绍了Banach-Steinhaus定理：

Banach-Steinhaus定理(uniform boundedness principle)
假设XXX是一个Banach空间，{An}\{A_n\}{An}是可列个XXX上的有界线性算子，∀x∈X\forall x \in X∀x∈X，sup⁡n≥1∥Anx∥\sup_{n \ge 1} \left\| A_nx \right\|supn≥1∥Anx∥有界，则sup⁡n≥1∥An∥\sup_{n \ge 1} \left\| A_n \right\|supn≥1∥An∥有界；

这个定理是泛函分析中非常重要的一个工具，当我们需要用到一列有界线性算子的范数一致有界的结果时，我们就可以用这个定理。

推论1 假设{An}\{A_n\}{An}是Banach空间XXX上的可列个连续线性算子，如果∀x∈X\forall x \in X∀x∈X，AnxA_nxAnx的极限存在，则lim⁡n→∞An\lim_{n \to \infty}A_nlimn→∞An是有界线性算子；

证明
根据极限的线性性，不难验证lim⁡n→∞An\lim_{n \to \infty}A_nlimn→∞An是线性算子，我们记A=lim⁡n→∞AnA=\lim_{n \to \infty}A_nA=limn→∞An，则
∥Ax∥=∥lim⁡n→∞Anx∥=lim⁡n→∞∥Anx∥\left\| Ax \right\| = \left\| \lim_{n \to \infty}A_nx \right\|=\lim_{n \to \infty}\left\|A_nx \right\|∥Ax∥=∥∥∥n→∞limAnx∥∥∥=n→∞lim∥Anx∥

因为∀x∈X\forall x \in X∀x∈X，AnxA_nxAnx的极限存在，所以∀x∈X\forall x \in X∀x∈X，sup⁡n≥1∥Anx∥\sup_{n \ge 1} \left\| A_nx \right\|supn≥1∥Anx∥有界，根据Banach-Steinhaus定理，AnA_nAn的范数一致有界，不妨假设上界为KKK，则
lim⁡n→∞∥Anx∥≤K∥x∥\lim_{n \to \infty}\left\|A_nx \right\| \le K\left\| x \right\|n→∞lim∥Anx∥≤K∥x∥

所以AAA是有界算子。

推论2 假设At,t∈(0,1]A_t,t \in (0,1]At,t∈(0,1]是一族有界线性算子，假设∀x∈X\forall x \in X∀x∈X，AtxA_txAtx在t→0t \to 0t→0处的极限存在，则∃δ>0\exists \delta>0∃δ>0，sup⁡0<t≤δ∥At∥<∞\sup_{0<t \le \delta}\left\| A_t \right\|<\inftysup0<t≤δ∥At∥<∞；

证明
与推论1相比，推论2讨论的是不可列的一族有界线性算子，它的难点在于我们的工具——Banach-Steinhaus定理——提供的是处理可列个有界线性算子的方法，所以我们的思路是把需要证明的结果离散化。

反证：假设∀δ>0\forall \delta>0∀δ>0，sup⁡0<t≤δ∥At∥>∞\sup_{0<t \le \delta}\left\| A_t \right\|>\inftysup0<t≤δ∥At∥>∞，于是∀n∈N\forall n \in \mathbb{N}∀n∈N，∃tn<1/n\exists t_n<1/n∃tn<1/n，使得∥Atn∥≥n\left\| A_{t_n} \right\| \ge n∥Atn∥≥n；

现在我们看一下这个定理的条件，∀x∈X\forall x \in X∀x∈X，AtxA_txAtx在t→0t \to 0t→0处的极限存在，则AtnxA_{t_n}xAtnx的极限也存在，这说明∀x∈X\forall x \in X∀x∈X，AtnxA_{t_n}xAtnx有界，根据Banach-Steinhaus定理，AtnA_{t_n}Atn的范数一致有界，这就与反证的假设相悖了；

推论3 YYY是Banach空间XXX的紧子集，假设A,An,n≥1A,A_n,n \ge 1A,An,n≥1是X→ZX \to ZX→Z的有界线性算子，其中ZZZ是一个赋范线性空间，lim⁡n→∞Anx=Ax\lim_{n \to \infty}A_nx = Axlimn→∞Anx=Ax，则
lim⁡n→∞sup⁡y∈Y∥Any−Ay∥=0\lim_{n \to \infty} \sup_{y \in Y} \left\| A_ny-Ay \right\|=0n→∞limy∈Ysup∥Any−Ay∥=0

证明
这个结论可以与数学分析中的相关结果对应起来：R\mathbb{R}R上的一列收敛的函数在R\mathbb{R}R的任意有界闭集上是一致收敛的；

给定ϵ>0\epsilon>0ϵ>0，因为YYY是紧集，所以∃k∈N\exists k \in \mathbb{N}∃k∈N，∃y1,⋯,yk\exists y_1,\cdots,y_k∃y1,⋯,yk使得∀y∈Y\forall y \in Y∀y∈Y，∃yi∈{y1,⋯,yk}\exists y_i \in \{y_1,\cdots,y_k\}∃yi∈{y1,⋯,yk}，
∥y−yi∥<ϵ4M,∃M>0\left\| y - y_i\right\| < \frac{\epsilon}{4M},\exists M>0∥y−yi∥<4Mϵ,∃M>0

lim⁡n→∞Anx=Ax\lim_{n \to \infty}A_nx = Axlimn→∞Anx=Ax说明所有的AnxA_nxAnx有界，于是AnA_nAn的范数一致有界，用MMM表示这个上界。估计∥Any−Ay∥\left\| A_n y -Ay \right\|∥Any−Ay∥，
∥Any−Ay∥≤∥Any−Anyi∥+∥Anyi−Ayi∥+∥Ayi−Ay∥≤(∥An∥+∥A∥)max⁡i=1,⋯,k∥y−yi∥+max⁡i=1,⋯,k∥Anyi−Ayi∥\left\| A_n y -Ay \right\| \le \left\| A_n y -A_ny_i \right\|+\left\| A_n y_i -Ay_i \right\|+\left\| A y_i -Ay \right\| \\ \le (\left\| A_n \right\|+\left\| A\right\|)\max_{i = 1,\cdots,k}\left\| y-y_i\right\|+\max_{i=1,\cdots,k}\left\| A_n y_i -Ay_i \right\|∥Any−Ay∥≤∥Any−Anyi∥+∥Anyi−Ayi∥+∥Ayi−Ay∥≤(∥An∥+∥A∥)i=1,⋯,kmax∥y−yi∥+i=1,⋯,kmax∥Anyi−Ayi∥

第一项的上界为
2Mmax⁡i=1,⋯,k∥y−yi∥<2Mϵ4M=ϵ22M\max_{i = 1,\cdots,k}\left\| y-y_i\right\| < 2M \frac{\epsilon}{4M}=\frac{\epsilon}{2}2Mi=1,⋯,kmax∥y−yi∥<2M4Mϵ=2ϵ

因为lim⁡n→∞Anx=Ax,∀x∈X\lim_{n \to \infty}A_nx = Ax,\forall x \in Xlimn→∞Anx=Ax,∀x∈X，于是在nnn足够大时，我们可以把max⁡i=1,⋯,k∥Anyi−Ayi∥\max_{i=1,\cdots,k}\left\| A_n y_i -Ay_i \right\|maxi=1,⋯,k∥Anyi−Ayi∥控制在ϵ2\frac{\epsilon}{2}2ϵ以内，于是

∥Any−Ay∥<ϵ\left\| A_n y -Ay \right\|<\epsilon∥Any−Ay∥<ϵ