模糊数学笔记：六、模糊模型识别-II（择近原则）

1、模糊模型识别的第二类问题

上节讲到的模型识别问题本质是讨论一个对象（只有一种属性）对于多个标准模型的匹配程度。而还有一类问题是：被识别的对象是由多个对象组成的一个集合，或者被识别对象具有多种属性时的识别问题。

例如：在考虑人体健康时会检测其多种指标（如身高、体重、肺活量等），通常是根据其各指标的综合得分对其健康状态进行评估。

2、贴近度

定义：对模糊集A,BA,BA,B，

σ0(A,B)=12[A∘B+(1−A⊙B)]\sigma_{0}(A, B)=\frac{1}{2}[A \circ B+(1-A \odot B)] σ0(A,B)=21[A∘B+(1−A⊙B)]

称为其格贴近度，这里∘,⊙\circ,\odot∘,⊙ 分别表示其内积和外积。显然，格贴近度越大，二者越接近。

3、择近原则

设论域UUU 上有 mmm 个模糊子集 A1,A2,⋯,Am,A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{m},A1,A2,⋯,Am, 构成一个标准模型库{A1,A2,⋯,Am},B∈F(U)\left\{A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{m}\right\}, B \in \mathscr{F}(U){A1,A2,⋯,Am},B∈F(U) 为待识别的模型. 若存在 i0∈{1,2,⋯,m},i_{0} \in\{1,2, \cdots, m\},i0∈{1,2,⋯,m}, 使得

σ0(Ai0,B)=⋁k=1σ0(Ak,B)\sigma_{0}\left({A}_{i_{0}}, {B}\right)=\underset{k=1}{\bigvee} \sigma_{0}\left({A}_{k}, {B}\right) σ0(Ai0,B)=k=1⋁σ0(Ak,B)

则称 BBB与Ai0{A}_{i_{0}}Ai0最贴近，或者说把 BBB 归并到Ai0{A}_{i_{0}}Ai0类.

例：已知某作物的标准库为：

A1(早熟 )A1(x)=e−(x−3.70.3)2,A2(矮杆 )A2(x)=e−(x−2.90.3)2A3(大粒 )A3(x)=e−(x−5.60.3)2,A4(高也丰产 )A4(x)=e−(x0.3)2A5(中肥丰产 )A5(x)=e−(x−3.70.2)2\begin{aligned} &A_{1}(\text { 早熟 }) \quad A_{1}(x)=\mathrm{e}^{-\left(\frac{x-3.7}{0.3}\right)^{2}}, \quad A_{2}(\text { 矮杆 }) \quad A_{2}(x)=\mathrm{e}^{-\left(\frac{x-2.9}{0.3}\right)^{2}}\\ &A_{3}(\text { 大粒 }) \quad A_{3}(x)=\mathrm{e}^{-\left(\frac{x-5.6}{0.3}\right)^{2}}, \quad A_{4}(\text { 高也丰产 }) \quad A_{4}(x)=\mathrm{e}^{-\left(\frac{x}{0.3}\right)^{2}}\\ &A_{5}(\text { 中肥丰产 }) \quad A_{5}(x)=\mathrm{e}^{-\left(\frac{x-3.7}{0.2}\right)^{2}} \end{aligned} A1( 早熟 )A1(x)=e−(0.3x−3.7)2,A2( 矮杆 )A2(x)=e−(0.3x−2.9)2A3( 大粒 )A3(x)=e−(0.3x−5.6)2,A4( 高也丰产 )A4(x)=e−(0.3x)2A5( 中肥丰产 )A5(x)=e−(0.2x−3.7)2

现有某品种特性函数为：
B(x)=e−(x−3.430.28)2B(x)={e}^{-\left(\frac{x-3.43}{0.28}\right)^{2}} B(x)=e−(0.28x−3.43)2
计算其贴近度：
σ0(A1,B)=12[e−(3.43−3.70.3+0.28)2+1]≈0.90,σ0(A2,B)≈0.72,σ0(A3,B)=0.50σ0(A4,B)≈0.76,σ0(A5,B)=0.86\begin{aligned} \sigma_{0}\left({A}_{1}, {B}\right) &=\frac{1}{2}\left[\mathrm{e}^{-\left(\frac{3.43-3.7}{0.3+0.28}\right)^{2}}+1\right] \approx 0.90, \\ \sigma_{0}\left(A_{2}, {B}\right) & \approx 0.72, \quad \sigma_{0}({A_3}, {B})=0.50 \\ \sigma_{0}\left(A_{4}, B\right) & \approx 0.76, \quad \sigma_{0}\left({A}_{5}, {B}\right)=0.86 \end{aligned} σ0(A1,B)σ0(A2,B)σ0(A4,B)=21[e−(0.3+0.283.43−3.7)2+1]≈0.90,≈0.72,σ0(A3,B)=0.50≈0.76,σ0(A5,B)=0.86
由此可知它属于第一类：早熟型。

注：对于连续的隶属度函数，求其贴近度时需要充分理解外积、内积的涵义，亦即对两个函数求最大值和最小值的方法。

另外，由于这类问题通常计算过程较为繁琐，因此通常是推荐使用工具进行计算。