华为OJ平台——放苹果(典型整数划分问题)
题目描述:
输入m,n,分别表示苹果数与盘子的总数,要求输出苹果放在n个盘子的方法总数(注意511和151是一种情况),例如输入 7 3 输出8((7),(6,1),(5,2),(4,3),(5,1,1),(4,2,1),(3,3,1),(3,2,2))
思路:
最典型的解法整数分解,例如给定n个苹果,把苹果放到k个盘子里,允许有的盘子为空,不妨设 f(n , k ) (边缘条件为当 n = 0 ,1时,返回1,当 k = 1 时,返回1)表示结果,分析一下可以知道有两种放的方法,一种是有空盘,一种是没空盘。
没空盘的情况可以知道每个盘子里至少有一个苹果,也就是说这种情况的总数为 f ( n-k , k ) 。
而有空盘的情况,我们可以假设最后一个盘子为空,则这种情况的总数为f ( n , k-1 ) (无需考虑多个盘子为空的情况,递归时必然会出现)
所以状态转移方程为 f ( n , k ) = f ( n-k , k ) + f ( n , k-1 )
1 import java.util.Scanner; 2 3 /** 4 * 把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里,允许有的盘子空着不放, 5 * 问共有多少种不同的分法?(用K表示)5,1,1和1,5,1 是同一种分法。 6 */ 7 public class PlayApples { 8 9 public static void main(String[] args) { 10 //输入读取参数 11 Scanner cin = new Scanner(System.in) ; 12 int apples = cin.nextInt() ; 13 int planes = cin.nextInt() ; 14 cin.close(); 15 16 System.out.println(count(apples,planes)) ; 17 18 } 19 20 /** 21 * 最典型的整数分解 22 * 例如给定n个苹果,把苹果放到k个盘子里,允许有的盘子为空, 不妨设 f(m , n ) 23 * (边缘条件为当 m == 0 ,1时,返回1,当 n == 1 时,返回1)表示结果, 24 * 分析一下可以知道有两中放的方法,一种是有空盘,一种是没空盘, 25 * 没空盘的情况可以知道每个盘子里至少有一个苹果,也就是说这种情况的总数为 f ( n-k , k ) 。 26 * 而有空盘的情况,我们可以假设最后一个盘子为空,则这种情况的总数为f ( n , k-1 ) (无需考虑多个盘子为空的情况,递归时必然会出现) 27 * 所以状态转移方程为 f ( n , k ) = f ( n-k , k ) + f ( n , k-1 )。 28 * 29 * 而如果是不允许有空盘子的情况,则可以由上面的情况推出, 30 * 设 d ( n , k ) 表示把n个苹果放到k个盘子里,不允许有空盘子的方法总数, 31 * 则有f ( n , k ) = Σ ( 1 <= i <= k ) d ( n , i ) 32 * 所以 d ( n , k ) = f ( n , k ) - f ( n , k-1 ) 33 * 34 * @param m 苹果数量 35 * @param n 盘子数量 36 * @return 37 */ 38 private static int count(int m, int n) { 39 //n为0 是错误的,故返回0 40 if(n == 0){ 41 return 0 ; 42 } 43 //m == 0,1时和 n == 1时均只有一种放法 44 if(m == 0 || n == 1 || m == 1 ){ 45 return 1 ; 46 }else if(m < 0){ 47 //m < 0 时,也是错误的情形,所以返回0 48 return 0 ; 49 }else{ 50 //递归调用 51 return count(m-n,n) + count(m,n-1) ; 52 } 53 } 54 }
Code
扩展:
而如果是不允许有空盘子的情况,则可以由上面的情况推出,设 d ( n , k ) 表示把n个苹果放到k个盘子里,不允许有空盘子的方法总数,则有
f ( n , k ) = Σ ( 1 <= i <= k ) d ( n , i ) 所以 d ( n , k ) = f ( n , k ) - f ( n , k-1 )
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