小波基函数和滤波系数

小波分析及其应用 Wavelet Analysis andIt’s Applications同济大学 计算机系宣国荣 2003年 6月10日 研究生讲座(2009年11月10日 补充 附录4) 研究生讲座：小波分析及其应用 1、小波的特点和发展 2、小波分析在一维信号处理中的应用 3 、小波分析在图象分析中的应用 图象特征抽取 图象压缩 数据隐藏和图象水印 1、小波的特点和发展 小波的时间和频率特性 运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频率”的变化。 时间：提取信号中“指定时间”(时间A或时间B)的变化。顾名思义，小波在某时间发生的小的波动。 频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频率成分；而提取信号中时间B的比较快速变化，称较高频率成分。 小波的成就 小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合。从数学来说是大半个世纪“调和分析”的结晶(包括傅里叶分析、函数空间等)。 小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。在计算机应用、信号处理、图象分析、非线性科学、地球科学和应用技术等已有重大突破，预示着小波分析进一步热潮的到来。 多分辨度分析(MRA) 1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理论，统一了几个不相关的领域：包括语音识别中的镜向滤波，图象处理中的金字塔方法，地震分析中短时波形处理等。 当在某一个分辨度检测不到的现象，在另一个分辨度却很容易观察处理。例如： 小波的3 个特点 小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象。(傅里叶变换只具有频率分析的性质) 小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取(图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等) 小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级。信号长度为M时， Fourier变换(左)和小波变换(右)计算复杂性分别如下公式： 小波基表示发生的时间和频率 “时频局域性” 图解：Fourier变换的基(上)小波变换基(中) 和时间采样基(下)的比较 Haar小波基母函数 Haar小波的基函数 第 1 行基函数是取平均(近似)， 第 2-8 行基函数是取变化(细节)。 细节包括变化速率和发生的时间。 小波分析发展历史 1807年 Fourier 提出傅里叶分析 ， 1822年发表 “热传导解析理论”论文 1910年 Haar 提出最简单的小波 1980年 Morlet 首先提出平移伸缩的小波公式，用于地质勘探。 1985年 Meyer 和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。 1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理论(MRA)，统一了语音识别中的镜向滤波，子带编码，图象处理中的金字塔法等几个不相关的领域。 小波基可以通过给定滤波系数生成 小波基函数和滤波系数(Haar--正交，对称) 小波基函数和滤波系数(db 2--正交，不对称 ) 小波基函数和滤波系数(db 4--正交，不对称) 小波基函数和滤波系数(sym 4--正交，近似对称) 小波基函数和滤波系数(bior 2.4 –双正交，对称) 小波基函数和滤波系数(bior 6.8 –双正交，对称) 2、小波分析在一维信号处理中的应用 小波变换就是将 “ 原始信号 s ” 变换 成 “ 小波 系数 w ” ，w=[wa , wd] 包括近似(approximation)系数wa 与细节(detail)系数wd 近似系数wa---平均成分(低频) 细节系数wd---变化成分(高频) 小波原始信号分解过程： 原始信号s可分解成小波近似 a 与小波细节d 之和。 s = a+d 小波系数 w = [ wa , wd ] 的分量，乘以 基函数，形成小波分解： 小波近似系数wa ×基函数A=近似分解 a ---平均 小波细节系数wd ×基函数D=细节分解 d---变化 小波分解和小波基 离散小波变换公式 信号 s 有M个样本，J 级小波变换： 正变换 反变换 其中： 是小波基函数 参考“数字图象处理”英文版,电子工业出版社,2002年 (R.C. Gonzalaz,”Digital Image Processin