时域中我们有几个性能指标，如上升时间，峰值时间，调节时间，超调量等等。进行时域分析和设计我们同样需要知道频域指标。

之前讲的Bode plot，Nyquist plot，包括根轨迹，都是通过开环传递函数来分析闭环传递函数的稳定性和频率特性，也就是通过开环系统分析闭环系统。在频域中分析闭环系统性能时，我们依旧可以利用开环频域指标来估计闭环频域指标，而开环频域指标也可以在一定程度上转化为闭环时域指标。

本篇目录

1. 闭环系统的频域性能指标 - 带宽

2. 带宽与频谱

3. 闭环系统的频域性能指标 – 谐振频率与谐振峰值

4. 从开环频域到闭环频域

5. 从开环频域到时域

6. 本篇小节

1. 闭环系统的频域性能指标 - 带宽

我们之前已经提过不少次bandwidth了。它是闭环系统的一个性能指标。定义截止频率（cutoff frequency）是频率特性的幅值从频率为0处的分贝值第一次下降-3dB时的频率。如果低频处的幅值本来就是0dB，那一般就是指-3dB处的频率。带宽（bandwidth）则为0到截止频率的频率区间。

带宽反映了闭环系统的响应速度，主要影响rise time上升时间。[2]中指出系统带宽扩大n倍，则响应速度加速n倍。带宽大的系统跟踪信号的能力强，因为能在较宽的频率带中跟踪原信号并保持较大的稳态幅值。反过来，因为带宽很大，所以一些高频干扰或者噪音就会被保留甚至放大。因此带宽的选择首先要满足信号跟踪和复现能力，再考虑降低噪音和干扰影响。

2. 带宽与频谱

为了让系统能够较好地跟踪参考信号reference，系统的带宽应当能覆盖reference的大部分频谱频率。否则reference中超过带宽频率的高频部分就会因为大的衰减而导致丢失，这种情况叫信号的失真。 覆盖得越完整当然信号复现的能力就越强。

3. 闭环系统的频域性能指标 – 谐振频率与谐振峰值

谐振峰值

与闭环系统的阻尼比是负相关的，即阻尼比越小，峰值越大。因此峰值的大小是对系统damping的一种指标。谐振频率

是闭环系统瞬态过程响应速度的指标，当阻尼比较小时，谐振频率与有阻尼共振频率，以及自然频率都是近似相等的，所以对应的时域的上升时间rise time就与谐振频率负相关。

4. 从开环频域到闭环频域

如果我们知道了开环传递函数，按照我们需要的bandwidth，我只要设计之前讲过的Lead Compensator，Lag Compensator ，或者PID controller就可以完成闭环频域设计了，而且我们可以通过MATLAB来实现。 但是即便如此，通过trial and error的办法并不是非常高效的。于是我们使用之前开环传递函数的Bode plot的两个指标对闭环频域的指标进行设计，这样开环传递函数的Bode plot就可以告诉我们足够的信息来指导我们如何进行下一步设计。

系统的穿越频率（crossover frequency）是Bode plot中穿越0dB线时的对应频率，是一个开环传递函数的指标。我们发现其与闭环系统的带宽bandwidth是有关联的。一般地穿越频率越大，带宽越大。[1]中计算发现带宽频率位于

到

。于是穿越频率crossover frequency可以和带宽一样对闭环系统的响应速度产生衡量的作用。

系统的相位裕度（PM）是Bode plot中 穿越频率时Phase与-180的差值，我们之前就讲过二阶系统的PM与阻尼比有近似正比关系（当PM不超过60），随后亦有一一对应的关系。这个关系是从二阶系统的标准形式的频率特性中推导而得到。同样的谐振峰值和谐振频率，即二阶系统的频率特性的最大值和最大值处的频率，与PM和crossover frequency都有联系。

PM与超调量和谐振峰值有对应关系，这与PM和阻尼之间的关系也是对应的。我们可以粗略地得出系统的PM值越大则阻尼比越大，超调和谐振峰值越小。谐振频率一般和穿越频率靠的比较近，因此也可以拿crossover frequency来近似谐振频率

。

5. 从开环频域到时域

时域中我们最常用的几个指标都与自然频率

和阻尼比

有关系。我们已经知道从

PM可以估计阻尼比。自然频率

则是可以由穿越频率

估计。一般穿越频率会更大一些。

6. 本篇小节

[3]中的这张图总结的非常好，借花献佛。

右边那列的指标是我们可以直接通过控制器进行设计的。我们通过控制器设计调整开环系统的指标，根据它们与左边从而能够满足闭环系统的性能指标，这就是我们的基本思路。

Reference

[1] G.F. Franklin, J.D. Powell, A.Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, 7th Edition, 2014, Pearson

[2] 胡寿松，自动控制原理（第六版），2013，科学出版社

[3] 朱晓青 主编，数字控制系统分析与设计，2015，清华大学出版社