现代谱估计：MTM 谐波分析

本文翻译自Kspectra -tool
有兴趣的人可以去原文看看，话不多说开始讲解。
#多窗口谐波分析。

1目标

谐波分析的目标是为了确定线成分-既谱估计中的尖峰对应于周期或准周期信号的频率，幅值，相位等成分。
无穷长的单一周期信号的傅里叶变换对应于信号的频率域上产生一个狄拉克函数, 即一个无穷高的谱线 (或零宽度（一个点）的峰值)。
根据上述描述讲解的的方法进行的谱估计, 给出了给定频率的信号幅值的间接信息, 通过以该频率为中心的峰值区域, 其宽度大致与时间序列的长度 N 成反比;这个区域是几乎恒定的, 因为谱峰的高度也是和采样时间长度（N）成正比。
而谐波分析则试图对长度受限的时间序列的频谱中直接确定 (纯) 谱峰线的 (有限) 振幅。接下来我们将解释这是如何在MTM中完成的

2计算公式

不妨假设时间序列 x (t) 是频率为 f0 和振幅为 B 的一系列正弦函数的总和, 加上 “噪声” n (t)（这是其他不关心的正弦波和白噪声的总和）。
因此公式可以被写成

如果（w（k），k=0，…k-1）是前k个特征谱同时Uk(f)是wk（t）的离散傅里叶变换，一个频率域的最小二乘估计展示了幅值B的一个估计值：

其中星号代表复共轭。
统计学上的置信区间可以通过费舍尔- Snedecor 测试（或者说F-test）的最小二乘拟合,。此测试大致基于时间序列 x (t) 通过k个特征锥形窗的筛选部分所捕获的方差与剩余方差的比值。通过扩大模型1的方差, 你会发现它是两个量的总和,

和

它是方差中未解释和已经得到解释部分贡献的和

随机变量

如果这个时间序列是一个纯净的白噪声，该变量会服从f（2，2k-2）的F分布
可以通过假设B=0，既x（T）是一个纯净的高斯白噪声对给定数据的数值值作解释。可以通过拒绝高斯白噪声假设。
实践中，这个谱估计只需要信号局部白噪声，在这个情况下，描述该局部特性的k阶特征谱也会表现分布的就像它们是白噪声一样。

F检验说明

MTM的这种谐波分析应用能够对相对较短的时间序列检测具有高度统计显着性的低振幅谐波振荡，或者如果F检验失败则能够拒绝大振幅的振荡，因为F值F（ f）并不取决于B（f）的大小。这个特征是MTM与标准方法相比的一个重要优势，它的误差线基本上与峰值幅度成正比。然而我们也需要注意，谐波分析方法中隐含的假设是，时间序列是由一个特定过程产生的。该过程由单独的纯粹的周期性固定振幅分量的叠加组成。如果不是，则连续谱（在有色噪声或混沌系统的情况下）将被分解为具有任意频率和可能高检验F值的虚线。实质上，上述过程假设“真实信号”由相位相干谐波信号对应的谱线中的线表示，而’噪声’则由谱的连续分量表示。在地球物理应用中，信号通常与窄带有关，并且不是严格的谐波变量，真正的谐波信号很少被检测到。在这种情况下，上面描述的传统MTM方法中隐含的简单噪声零假设和信号假设失去了它的许多实用性。