简单的例子

Fibonacci数列

考虑 Fibonacci Fibonacci数列，

F(n)=F(n−1)+F(n−2)

F(n)=F(n-1)+F(n-2)
将右边两项看做是一个列向量的形式，令

Xn−1={Fn−1Fn−2}

X_{n-1}=\left\{\begin{matrix}F_{n-1}\\F_{n-2}\end{matrix}\right\}
很容易得到 Xn X_n的形式，即

Xn={FnFn−1}

X_{n}=\left\{\begin{matrix}F_{n}\\F_{n-1}\end{matrix}\right\}
现在的任务就是找到一个系数矩阵 A A，使得AXn−1=XnAX_{n-1}=X_n，且 A A需与nn无关。
如果能够找到这个 A A，则易知An−1X1=XnA^{n-1}X_1=X_n，于是可以利用矩阵快速幂计算出 Xn X_n。这样就可以在 O(logn) O(\log{n})的时间内计算出指定的 Fibonacci Fibonacci数。
这个矩阵很容易找，观察易得

A={1110}(1)

A=\left\{\begin{matrix}1&1\\1& 0\end{matrix}\right\}\tag{1}

Fibonacci数列变种

推广一下，如果令 Fn=aFn−1+bFn−2 F_n=aF_{n-1}+bF_{n-2}，则系数矩阵为

A={a1b0}(2)

A=\left\{\begin{matrix}a&b\\1& 0\end{matrix}\right\}\tag{2}

利用二项式展开构造矩阵

计算k次方和

Fibonacci Fibonacci数列只是最简单的例子，对于稍微复杂一点的例子，二项式展开是常用的一项技术。
考虑计算：

Sn=∑i=1nik

S_n=\sum_{i=1}^n{i^k}
易得

Sn=nk+Sn−1

S_n=n^k+S_{n-1}
如果仿照 Fibonacci Fibonacci数列，令

Xn−1={nkSn−1}

X_{n-1}=\left\{\begin{matrix}n^k\\S_{n-1}\end{matrix}\right\}
则

Xn={(n+1)kSn}

X_{n}=\left\{\begin{matrix}(n+1)^k\\S_{n}\end{matrix}\right\}
此时，可求出

A=⎧⎩⎨⎪⎪(n+1n)k101⎫⎭⎬⎪⎪

A=\left\{\begin{matrix}\left({\frac{n+1}{n}}\right)^{k}&&0\\1&&1\end{matrix}\right\}
这个系数矩阵很明显是不能用的，因为它与 n n有关，无法将递推公式转化为矩阵的幂运算。
这里需要使用二项式展开。

Sn=(n−1+1)k+Sn−1=C0k(n−1)k+C1k(n−1)k−1+⋯+Ckk+Sn−1

S_n=(n-1+1)^k+S_{n-1}\\=C_k^0(n-1)^k+C_k^1(n-1)^{k-1}+\cdots+C_k^k+S_{n-1}
此时，如果令

Xn−1=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(n−1)k(n−1)k−1⋮(n−1)0Sn−1⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

X_{n-1}=\left\{\begin{matrix}(n-1)^k\\(n-1)^{k-1}\\\vdots\\(n-1)^0\\S_{n-1}\end{matrix}\right\}
则有

Xn=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪nknk−1⋮n0Sn⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

X_{n}=\left\{\begin{matrix}n^k\\n^{k-1}\\\vdots\\n^0\\S_{n}\end{matrix}\right\}
现在的任务与刚才一样，找到一个系数矩阵 A A，使得AXn−1=XnAX_{n-1}=X_n，且 A A需与nn无关。
有关 Sn S_n的递推公式实际上就指明了 A A的最后一行。而利用二项式展开很容易得到其他行。
有

A=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪C0k0⋮0C0kC1kC0k−1⋮⋯C1k⋯⋯⋱⋯⋯CkkCk−1k−1⋮C00Ckk00⋮01⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(3)

A=\left\{\begin{matrix}C_k^0&&C_k^1&&\cdots&&C_k^k&&0\\0&&C_{k-1}^0&&\cdots&&C_{k-1}^{k-1}&&0\\\vdots&&\vdots&&\ddots&&\vdots&&\vdots\\0&&\cdots&&\cdots&&C_0^0&&0\\C_k^0&&C_k^1&&\cdots&&C_k^k&&1\end{matrix}\right\}\tag{3}
最后有

An−1X1=Xn

A^{n-1}X_1=X_n
且

X1={1 1 ⋯ 1}T

X_1=\left\{1\space1\space\cdots\space1\right\}^T
利用该系数矩阵可以在 O(k3logn) O(k^3\log{n})时间内计算出 k k次方的和。

更一般的例子

再考虑一个一般情况：

Sn=∑i=1n(ai+b)k

S_n=\sum_{i=1}^n{(ai+b)^k}
与刚才几乎一模一样，有

Sn=[a(n−1)+(a+b)]k+Sn−1=C0kak(n−1)k+C1kak−1(a+b)(n−1)k−1+⋯+Ckk(a+b)k+Sn−1

S_n=[a(n-1)+(a+b)]^k+S_{n-1}\\=C_k^0a^k(n-1)^k+C_k^1a^{k-1}(a+b)(n-1)^{k-1}+\cdots+C_k^k(a+b)^k+S_{n-1}
剩下的步骤，也几乎完全与之前的一样，令

Xn−1=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(n−1)k(n−1)k−1⋮(n−1)0Sn−1⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

X_{n-1}=\left\{\begin{matrix}(n-1)^k\\(n-1)^{k-1}\\\vdots\\(n-1)^0\\S_{n-1}\end{matrix}\right\}
则

Xn=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪nknk−1⋮n0Sn⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

X_{n}=\left\{\begin{matrix}n^k\\n^{k-1}\\\vdots\\n^0\\S_{n}\end{matrix}\right\}
同样，有关 Sn S_n的递推公式实际上就指明了 A A的最后一行，其他行则利用二项式展开得到。
有

A=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪C0k0⋮0C0kakC1kC0k−1⋮⋯C1kak−1(a+b)⋯⋯⋱⋯⋯CkkCk−1k−1⋮C00Ckk(a+b)k00⋮01⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(4)

A=\left\{\begin{matrix}C_k^0&&C_k^1&&\cdots&&C_k^k&&0\\0&&C_{k-1}^0&&\cdots&&C_{k-1}^{k-1}&&0\\\vdots&&\vdots&&\ddots&&\vdots&&\vdots\\0&&\cdots&&\cdots&&C_0^0&&0\\C_k^0a^k&&C_k^1a^{k-1}(a+b)&&\cdots&&C_k^k(a+b)^k&&1\end{matrix}\right\}\tag{4}

更复杂的例子

假设要计算如下和式：

Sn=∑i=1nikki

S_n=\sum_{i=1}^ni^kk^i
同样，将其写成递推公式，有

Sn=nkkn+Sn−1=(n−1+1)kk(n−1)+1+Sn−1=C0k(n−1)kk(n−1)+1+C1k(n−1)k−1k(n−1)+1+⋯+Ckkk(n−1)+1+Sn−1

S_n=n^kk^n+S_{n-1}\\=(n-1+1)^kk^{(n-1)+1}+S_{n-1}\\=C_k^0(n-1)^kk^{(n-1)+1}+C_k^1(n-1)^{k-1}k^{(n-1)+1}+\cdots+C_k^kk^{(n-1)+1}+S_{n-1}
将与 n n有关的项抽出来作为列向量，令

Xn−1=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(n−1)kk(n−1)+1(n−1)k−1k(n−1)+1⋮(n−1)0k(n−1)+1Sn−1⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

X_{n-1}=\left\{\begin{matrix}(n-1)^kk^{(n-1)+1}\\(n-1)^{k-1}k^{(n-1)+1}\\\vdots\\(n-1)^0k^{(n-1)+1}\\S_{n-1}\end{matrix}\right\}
则

Xn=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪nkkn+1nk−1kn+1⋮n0kn+1Sn⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

X_{n}=\left\{\begin{matrix}n^kk^{n+1}\\n^{k-1}k^{n+1}\\\vdots\\n^0k^{n+1}\\S_{n}\end{matrix}\right\}

同样，有关 Sn S_n的递推公式说明了系数矩阵 A A的最后一行。而其他行仍然可以由二项式展开得到，只是相差了一个系数kk而已，这很容易解决。
最后，有

A=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪kC0k0⋮0C0kkC1kkC0k−1⋮⋯C1k⋯⋯⋱⋯⋯kCkkkCk−1k−1⋮kC00Ckk00⋮01⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(5)

A=\left\{\begin{matrix}kC_k^0&&kC_k^1&&\cdots&&kC_k^k&&0\\0&&kC_{k-1}^0&&\cdots&&kC_{k-1}^{k-1}&&0\\\vdots&&\vdots&&\ddots&&\vdots&&\vdots\\0&&\cdots&&\cdots&&kC_0^0&&0\\C_k^0&&C_k^1&&\cdots&&C_k^k&&1\end{matrix}\right\}\tag{5}

部分题目

POJ3070利用了矩阵1，hdu3369利用了矩阵3和4，hdu3483利用了矩阵5。

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