7-1 真实的背包故事 (17 分)

题目大意

0-1背包问题是经典的动态规划问题，这个问题大多用这样的故事开场：一个小偷溜进了一家博物馆，博物馆里排列着N件珍稀古董，每件古董都有重量和价值，而小偷带来的背包有重量限制W。因此，小偷的目的就是要选择部分古董，使其总重量不超过W且总价值最大。这故事听上去就像小偷在逛超市一样能轻松自如地挑选，而真实的情况是小偷提心吊胆，尤其是每拿下一件古董，随时都有触动警报的危险，所以小偷想尽可能少带几件古董立马跑路，但他的职业“素养”又不允许他不把背包装满。你能帮他解决这个困境吗？

输入格式

第一行中给出2个整数值N和W, 其中1<N≤100表示古董的数量，1<W≤2000表示背包的重量限制。接下来N行数据，每行两个正整数。第i行（1≤i≤N)的整数vi和wi分别表示第i件古董的价值和重量。vi和wi 的值均不超过2000。

输出格式

在一行中输出两个整数值，用空格分开。第一个整数表示装背包能获得的最大总价值，第二个整数表示在获得最大价值的条件下装入背包里的古董的最少数量。

输入样例

6 6
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
结尾无空行

输出样例:

在这里给出相应的输出。例如：
6 1
结尾无空行

基本思路

简单的0-1背包问题，可以直接套用背包问题模板解决。具体数据结构和详细思路请看代码注释。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int N,W;//古董数量，背包重量限制
int vi[105],wi[105];//v[i]代表第i件古董的价值，w[i]代表第i件古董的重量
int dpv[2005];//滚动数组：阶段数隐含，dpv[j]代表在第i个阶段下重量限制为j的背包所能获得的最大价值
int dpn[2005];//滚动数组：阶段数隐含，dpn[j]代表在第i个阶段下重量限制为j的背包所能获得最大价值的情况下的最少物品件数
int main(){cin>>N>>W;for(int i=1;i<=N;i++) cin>>vi[i]>>wi[i];//初始化递推边界memset(dpv,0,sizeof(dpv));//0件物品放入任何重量限制的背包所能获得的最大价值都是0memset(dpn,0,sizeof(dpn));//0件物品房屋任何重量限制的背包所能获得的最大价值都是0，最少物品件数自然就是0//状态转移方程for(int i=1;i<=N;i++){for(int j=W;j>=wi[i];j--){if(dpv[j-wi[i]]+vi[i]>=dpv[j]){dpv[j]=dpv[j-wi[i]]+vi[i];dpn[j]=dpn[j-wi[i]]+1;}}}//输出cout<<dpv[W]<<" "<<dpn[W]<<endl;
}