转移概率矩阵(Transition Probability Matrix)
什么是转移概率矩阵
转移概率矩阵:矩阵各元素都是非负的,并且各行元素之和等于1,各元素用概率表示,在一定条件下是互相转移的,故称为转移概率矩阵。如用于市场决策时,矩阵中的元素是市场或顾客的保留、获得或失去的概率。P(k)表示k步转移概率矩阵。
转移概率矩阵的特征
转移概率矩阵有以下特征:
①,0≤Pij≤1
②,即矩阵中每一行转移概率之和等于1。
转移概率与转移概率矩阵[1]
假定某大学有1万学生,每人每月用1支牙膏,并且只使用“中华”牙膏与“黑妹”牙膏两者之一。根据本月(12月)调查,有3000人使用黑妹牙膏,7000人使用中华牙膏。又据调查,使用黑妹牙膏的3000人中,有60%的人下月将继续使用黑妹牙膏,40%的人将改用中华牙膏; 使用中华牙膏的7000人中, 有70%的人下月将继续使用中华牙膏,30%的人将改用黑妹牙膏。据此,可以得到如表-1所示的统计表。
表-1 两种牙膏之间的转移概率
-
拟用 黑妹牙膏 中华牙膏 现用 黑妹牙膏 60% 40% 中华牙膏 30% 70%
上表中的4个概率就称为状态的转移概率,而这四个转移概率组成的矩阵
称为转移概率矩阵。可以看出, 转移概率矩阵的一个特点是其各行元素之和为1。 在本例中,其经济意义是:现在使用某种牙膏的人中,将来使用各种品牌牙膏的人数百分比之和为1。
2. 用转移概率矩阵预测市场占有率的变化
有了转移概率矩阵,就可以预测,到下个月(1月份)使用黑妹牙膏和中华牙膏的人数,计算过程如下:
即:1月份使用黑妹牙膏的人数将为3900,而使用中华牙膏的人数将为6100。
假定转移概率矩阵不变,还可以继续预测到2月份的情况为:
这里称为二步转移矩阵,也即由12月份的情况通过2步转移到2月份的情况。二步转移概率矩阵正好是一步转移概率矩阵的平方。一般地, k步转移概率矩阵
正好是一步转移概率矩阵的k次方。可以证明,k步转移概率矩阵中,各行元素之和也都为1。
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