数学归纳法：

数学归纳法有好几种形式，我们这里采用最常见的一种。其他形式，详见。
PS：有时候维基百科+百度百科，对比的看，效果更好。维基更细，但百度百科可以帮助我们总结，例子也更中国思维，更容易理解。

当我们要证明自然数范围内的某种规律时，可采用这种方法：

当n=1时，规律成立。
假设n=k时，规律成立。如果可证明n=k+1时，规律依然成立。那么该规律在自然数范围内成立。
（思想：层层递推）

递归问题：

什么时候使用递归？

定义是递归的：Fibonacci数列
数据结构是递归的：链表
问题解法是递归的：Hanoi塔

Hanoi problem：

特别感谢：https://www.cnblogs.com/xxNote/articles/3965739.html
以及严蔚敏老师的《数据结构》

假设圆盘的个数为n，圆盘编号从上到下依次为1，2，3，4，……n，我们开始从中找规律：

①当 n = 1 时，从 A 移动到 C 显然能够完成，设需要移动的次数是a1。

②当 n = 2 时，由①可知从把 1 号盘子从 A 移动到 B能够完成（B 和 C 是等效的）此时移动次数为a1。

之后把2号盘子移动到C上面此时移动次数为a1 + 1。

这时把1号盘子从B移动到C和①是等价的，

移动后总的移动次数是a2 = a1 + 1 + a1。

③当n = 3时，由②可知移动成下图的效果是可以实现的，

此时移动的次数是a2，接着把3号盘子移动到C上面

此时移动的次数是a2 + 1，这时把1和2号盘子移动到C上面（移动过程中3号盘子始终不会动）和②等效的，移动完成之后如下

移动的总次数是a3 = a2 + 1 + a2

④当n=4时，由③可知移动成下图的效果是可以实现的，

此时移动的次数是a3

把4号盘子从A移动到C

此时移动的次数是a3 + 1

接下来把123号盘子从B移动到C的过程又和③等效了移动之后如下

移动的总次数是a4 = a3 + 1 + a3

数学归纳法，首先，针对具体的问题，我们要归纳总结出规律。从上述例子中，我们可以得出规律：(n>1)

an=an−1+1+an−1a_{n}=a_{n-1}+1+a_{n-1}an=an−1+1+an−1
利用数学归纳法证明：

当k=1，2时，a2=a1+1+a1a_{2}=a_{1}+1+a_{1}a2=a1+1+a1
假设当n=k(k>1)时,等式成立：ak=ak−1+1+ak−1a_{k}=a_{k-1}+1+a_{k-1}ak=ak−1+1+ak−1

当n=k+1时：在k+1盘上有k层盘，由（2）和汉诺塔规则知，这k层盘可以挪到B，需要aka_{k}ak步，k+1盘由A到C需要1步，K层盘由B到C同样需要aka_{k}ak步。由此可知下式成立：
ak+1=ak+1+aka_{k+1}=a_{k}+1+a_{k}ak+1=ak+1+ak
综上所述，对于Hanoi规律an=an−1+1+an−1a_{n}=a_{n-1}+1+a_{n-1}an=an−1+1+an−1在n>1的自然数范围内都成立。

此外我们还可以移动n个盘子需要的搬运次数：
an=an−1+1+an−1a_{n}=a_{n-1}+1+a_{n-1}an=an−1+1+an−1 等价于an+1=2∗（an−1+1）a_{n}+1=2*（a_{n-1}+1）an+1=2∗（an−1+1），后式是一个等比数列，比为2.
即：等比数列通项公式为：an+1=2(n−1)∗（a1+1）=2na_{n}+1=2^{(n-1)}*（a_{1}+1）=2^nan+1=2(n−1)∗（a1+1）=2n
最后可得：an=2n−1a_{n}=2^n-1an=2n−1

代码：

// 分治递归思想，递归出口+调用规模变小但相同的处理方法
void Hanoi(int n ,char A, char B, charC)
{if(1==n) move(A, 1,C);else{Hanoi(n-1,A,B,C);   // else中的三句话，就是上边的$$a_{n}=a_{n-1}+1+a_{n-1}$$move(A,n,C);Hanoi(n-1,B,A,C);}
}

总结：

汉诺塔问题属于递归中解法是递归的问题类型，其搬运次数和盘子数量呈指数关系，当盘子数过多，问题需要步骤过多，花费的时间也就越多。