数字图像处理---空间滤波基础

空间滤波概念

滤波：通过修改或者抑制给定图像的特定频率分量，常见有低通滤波器与高通滤波器。
空间滤波：将像素值使用该像素值及其邻域的值进行替换，替换方式有线性与非线性两种，即线性滤波器与非线性滤波器。

线性滤波器

一般方式为是使用一个矩阵（也成为核）与图像进行类似卷积运算，做乘积。
矩阵内部的数值决定了滤波器的功能。

（下图来自数字图像处理第4版=DIGITAL IMAGE PROCESSING,FOURTH EDITION）

可分离滤波器核

将二维矩阵分解为两个一维向量的乘积。
G ( X , Y ) = G 1 ( X ) G 2 ( Y ) G(X,Y)=G_1(X)G_2(Y) G(X,Y)=G1(X)G2(Y)
如
w = [ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ] w=\begin{equation} \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right] \end{equation} w= 111111111
可表示为
w 1 = [ 1 1 1 ] w 2 = [ 1 1 1 ] w_1=\begin{equation} \left[\begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \end{equation} \hspace{1.5cm} w_2=\begin{equation} \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ \end{array} \right] \end{equation} w1= 111 w2=[111]
两者乘积。

PS:判断一个核是否是可分离卷积核，即判断该卷积核是否是秩为1.若为1，即可分离，否则不可。

卷积可分离的好处：
假设图像大小为 M ∗ N M*N M∗N,卷积核大小为 m ∗ n m*n m∗n,直接做卷积的运算量包括 M N m n MNmn MNmn次乘法和 M N m n MNmn MNmn次加法。若使用可分离卷积，将 w w w分为 w 1 ∗ w 2 w_1*w_2 w1∗w2，并且 w 1 w_1 w1为 m ∗ 1 m*1 m∗1， w 2 w_2 w2为 1 ∗ n 1*n 1∗n,将图像矩阵与 w 1 w_1 w1和 w 2 w_2 w2分别做卷积得到运算量为 M N m + M N n MNm+MNn MNm+MNn，即 M N ( m + n ) MN(m+n) MN(m+n)。相比于之前的 M N m n MNmn MNmn,大大减少了运算量。

可分离向量的确定：
根据矩阵的性质可知，秩为1的矩阵，每行之间只差常数倍，每列之间也只差常数倍，那么我们可以任意找一个行与列进行求解，当然需要保证该行与列都非零向量。

滤波器类型

线性滤波器

低通空间滤波器
\hspace{0.5cm} 主要作用于变化缓慢的区域，如光滑地面等；桌子边缘等为高频区域。
1.1 盒式滤波器核
\hspace{0.5cm} 该滤波器核的数值均为1,可使图片产生平滑效果。
1.2 低通高斯滤波器核
\hspace{0.5cm} 高斯核 w ( s , t ) = G ( s , t ) = K e − s 2 + t 2 2 σ 2 w(s,t) = G(s,t)=Ke^{-\frac{s^2+t^2}{2\sigma^2}} w(s,t)=G(s,t)=Ke−2σ2s2+t2
\hspace{0.5cm} 其中 s s s与 t t t为到坐标（以核心为原点）, ( s 2 + t 2 ) 1 2 (s^2+t^2)^{\frac{1}{2}} (s2+t2)21为到原心的距离。

特别地，高斯核也是可分离的。
高通滤波器
\hspace{0.5cm} 通过边缘增强等方式作用于图像。

非线性滤波器

中值滤波
\hspace{0.3cm} 将某像素及其邻域内的像素进行排序，中心像素的值由邻域内的像素排序的中间值确定，尤其对椒盐噪声有消除作用。
最大值滤波器和最小值滤波器
\hspace{0.3cm} 最大值滤波器：将某像素及其邻域内的像素进行排序，中心像素的值由邻域内的像素排序最大值确定。
\hspace{0.3cm} 最小值滤波器：将某像素及其邻域内的像素进行排序，中心像素的值由邻域内的像素排序最大值确定。
中点滤波器
\hspace{0.3cm} 将某像素及其邻域内的像素进行排序，中心像素值由最大值与最小值的平均值确定，适用于处理随机分布的噪声，如高斯噪声或者均匀噪声。
修正 A l p h a Alpha Alpha均值滤波器
\hspace{0.3cm} 对中值滤波器的改进，将某像素及其邻域内的像素删除部分最低灰度值与最高灰度值，剩下的像素值进行计算算术平均值，作为中心像素值，适用于处理混合噪声，如椒盐噪声与高斯噪声的混合。

自适应滤波器

自适应重在考虑图像的不同特征点变化。

自适应局部降噪滤波器
\hspace{0.3cm} 该滤波器需要考虑的参数涉及带有噪声的图像像素值与噪声方差；滤波器中局部像素均值与局部方差。
带有噪声的图像像素值为 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)、噪声方差为 σ f \sigma_f σf、局部均值为 f x y ^ \hat{f_{xy}} fxy^、局部方差为 σ x y \sigma_{xy} σxy
四个参数的计算方式可由直方图得出频率与相关值乘积得到。
自适应的表达式为 f ˉ ( x , y ) = f ( x , y ) − σ f 2 σ x y 2 [ f ( x , y ) − f x y ^ ] \bar{f}(x,y)=f(x,y)-\frac{\sigma_f^2}{\sigma_{xy}^2}[f(x,y)-\hat{f_{xy}}] fˉ(x,y)=f(x,y)−σxy2σf2[f(x,y)−fxy^]
该式子的特点在于
\hspace{0.6cm} 若噪声的方差为0，则滤波的结果为 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)；
\hspace{0.6cm} 若噪声的方差与局部方差相等，则滤波的结果为图像局部像素值的均值；
自适应中值滤波器
\hspace{0.3cm} 对中值滤波的优化
在保留图像细节的同时平滑非冲激噪声（非变化剧烈）
与自适应局部降噪滤波器类似，在局部区域进行计算。
在局部区域中， z m i n z_{min} zmin表示最小灰度值， z m a x z_{max} zmax表示最大灰度值， z m e d z_{med} zmed表示灰度值中值， z x y z_{xy} zxy为坐标 ( x , y ) (x,y) (x,y)处的灰度值， S m a x S_{max} Smax表示局部区域的大小。
算法步骤：
1. 若 z m i n z_{min} zmin < z m e d z_{med} zmed< z m a x z_{max} zmax,则转到第二步；否则，增加局部区域大小，若局部区域大小小于 S m a x S_{max} Smax，重复步骤1，否则输出 z m e d z_{med} zmed
2. 若 z m i n z_{min} zmin < z x y z_{xy} zxy< z m a x z_{max} zmax,则输出 z x y z_{xy} zxy，否则输出 z m e d z_{med} zmed
  算法的主要思想在于通过两层判断，旨在消除冲激噪声，如在第一步转到第二步，可以保证 z m e d z_{med} zmed为非冲激噪声；第二步中无论输出 z m e d z_{med} zmed还是 z x y z_{xy} zxy都达到了消除冲激噪声的目的。但如果最终在第一步中进行了输出，那么不能保证 z m e d z_{med} zmed是否为冲激噪声。
  PS:所以该算法旨在尽力消除，不保证全部消除。