文章目录

进制
- 十进制转二进制
- - （1）短除法
  - （2）贪心算法
- 二进制转十进制
- b进制转十进制
- 十进制转b进制
快速幂
- 例题1：越狱
- 例题2：倒水

ε=(´ο｀*)))唉，又快学完初等数论了，我又心血来潮，再次写下一篇壮美的篇章。

一夜复习两茫茫。看一句，忘三行。路遇友人，脸色皆凄凉。视死如归入考场，做小抄，占座忙。考完之后心凉凉，左右曰，今必亡。查询成绩，众人皆过我独亡。再顾昔时左右人,这一群,装逼郎。———题记一夜复习两茫茫。\\看一句，忘三行。\\路遇友人，脸色皆凄凉。\\视死如归入考场，做小抄，占座忙。\\ 考完之后心凉凉，左右曰，今必亡。\\查询成绩，众人皆过我独亡。\\再顾昔时左右人,这一群,装逼郎。\\———题记一夜复习两茫茫。看一句，忘三行。路遇友人，脸色皆凄凉。视死如归入考场，做小抄，占座忙。考完之后心凉凉，左右曰，今必亡。查询成绩，众人皆过我独亡。再顾昔时左右人,这一群,装逼郎。———题记

进制

略带而过

十进制转二进制

（1）短除法

（2）贪心算法

二进制转十进制

N(十进制)=an∗2n+an−1∗2n−1+……+a1∗21+a0∗20N(十进制)=a_n*2^n+a_{n-1}*2^{n-1}+……+a_1*2^1+a_0*2^0N(十进制)=an∗2n+an−1∗2n−1+……+a1∗21+a0∗20

b进制转十进制

乘以基数并展开：
x=an∗bn+an−1∗bn−1+……+a1∗b1+a0∗b0x=a_n*b^n+a_{n-1}*b^{n-1}+……+a_1*b^1+a_0*b^0x=an∗bn+an−1∗bn−1+……+a1∗b1+a0∗b0
x=(…(an∗b+an−1)∗b+…)∗b+a0x=(…(a_n*b+a_{n-1})*b+…)*b+a_0x=(…(an∗b+an−1)∗b+…)∗b+a0

十进制转b进制

快速幂

快速幂，顾名思义，就是快速计算某个数的多少次幂，其时间复杂度为Θ(log⁡2x)\Theta(\log_2 x)Θ(log2x)。

预备知识：

原理：倍增思想
a∗a=a2a22=a4a42=a8a*a=a^2\\{a^2}^2=a^4\\{a^4}^2=a^8a∗a=a2a22=a4a42=a8

【核心代码】

int pow(int a,int b,int p)//快速幂求a^b%p
{int res=1;for(;b;b>>=1){if(b&1) res=(ll)res*a%p;a=(ll)a*a%p; }return res;
}

例题1：越狱

【题目描述】
监狱有连续编号为1..n1..n1..n的nnn个房间，每个房间关押一个犯人。有mmm种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人信仰的宗教相同，就可能发生越狱。求有多少种状态可能发生越狱，结果模100003100003100003取余。1≤m≤108，1≤n≤1012。1≤m≤10^8，1≤n≤10^{12}。1≤m≤108，1≤n≤1012。
【解析】
发生越狱的情况下不太好分析，所以我们可以先算出总方案数再减去不发生越狱的情况。
显然，所有的方案数为 mnm^nmn ，所有不发生越狱的方案数为 m∗(m−1)(n−1)m*(m-1)^{(n-1)}m∗(m−1)(n−1) 。
所以，发生越狱的方案数为 mn−m∗(m−1)(n−1)m^n-m*(m-1)^{(n-1)}mn−m∗(m−1)(n−1) 。
用快速幂即可完成。
【代码展示】

#include<bits/stdc++.h>
#define ud using namespace std
#define ll long long
ud;
ll m,n;
inline long long read()
{long long sum=0,flag=1;char c;for(;c<'0'||c>'9';c=getchar())if(c=='-') flag=-1;for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())sum=(sum<<1)+(sum<<3)+c-'0';return sum*flag;
}
ll pow(ll a,ll b)
{ll tmp=1;while(b!=0){if(b%2==1){tmp*=a;tmp%=100003;}b=b/2;a*=a;a%=100003;}return tmp;
}
int main()
{m=read();n=read();ll ans=m*1LL*(pow(m,n-1)-pow(m-1,n-1)+100003)%100003;//多加一个100003起到保险作用printf("%lld\n",ans);return 0;
}

例题2：倒水

【题目描述】
一天，CC买了N个容量可以认为是无限大的瓶子，开始时每个瓶子里有1升水。接着~~CC发现瓶子实在太多了，于是他决定保留不超过K个瓶子。每次他选择两个当前含水量相同的瓶子，把一个瓶子的水全部倒进另一个里，然后把空瓶丢弃。(不能丢弃有水的瓶子) 显然在某些情况下CC无法达到目标，比如N=3,K=1。此时CC会重新买一些新的瓶子(新瓶子容量无限，开始时有1升水)，以到达目标。现在CC想知道，最少需要买多少新瓶子才能达到目标呢？1<=N<=109，K<=10001<=N<=10^9，K<=10001<=N<=109，K<=1000 。
【解析】
显然，由题意我们可以得到，保留瓶子的水容量一定为 2n(n∈N∗)2^n(n\in N^*)2n(n∈N∗) ，那么题目就可以转化为求 NNN 的二进制形式中从高位到低位保留 KKK 位 111 ，所需要补充的最小差值。

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