文章目录

前言
1. 数论
- 1.1数论的发展
- 1.2数论的分支
2. 拓扑学
- 2.1 拓扑学的由来
- 2.2 什么是拓扑学
3. 射影几何
- 3.1 射影几何的发展
- 3.2 射影几何的内容
- 3.3 mark
4. 常微分方程
- 4.1 常微分方程的内容
- 4.2 常微分方程的主要问题
5. 非欧几何
- 5.1 非欧几何的来源
- 5.2 罗氏几何
- 5.3 黎曼几何
- 5.4 三种几何学的关系
6. 计算数学
- 6.1 计算数学的内容
7. 运筹学
- 7.1 运筹学各分支简介
8. 分形几何
- 8.1 分形几何学的产生
- 8.2 分形几何学的内容
9. 突变理论
- 9.1 突变理论的内容
10. 模糊数学
- 10.1 模糊数学的研究内容
- 10.2 模糊数学的应用

前言

总结于此

1. 数论

“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”

数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。

1.1数论的发展

关于数论的研究，直到十九世纪，还只是形单影只的记载在各个时期的算法著作中，比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。

德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术探讨》，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和意志的方法进行了分类，还引进了新的方法。

1.2数论的分支

数论如果按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分。

初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支（中国剩余定理）。
解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支，我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中也使用的是解析数论的方法。
代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。
几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。几何数论研究的基本对象是“空间格网”。

空间格网：在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。

2. 拓扑学

2.1 拓扑学的由来

几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，属于几何学的范畴。但是一些拓扑问题早在十八世纪就已经出现了（哥尼斯堡七桥问题，四色问题）

2.2 什么是拓扑学

拓扑学是几何学的一个分支，通常的几何学研究对象是点，线，面之间的位置和关系，但是拓扑学对于研究对象的大小，长短等度量性质和数量关系都无关。在拓扑学所研究的图形中，它的大小或者形状都是会发生变化的。
在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变幻，就存在拓扑等价。

3. 射影几何

射影几何是研究图形的射影性质，射影性质就是图形经过射影变换后，依然保持不变的图形性质。射影几何是几何学的分支。

3.1 射影几何的发展

十七世纪，笛卡尔和费尔马创立了解析几何。另外还有一门几何学正在兴起，它是和画图有关，这就是射影几何的雏形，因为画家需要将实物通过眼睛投影到画布上。

3.2 射影几何的内容

射影几何是研究图形位置之间关系的几何学分支，也是研究把点投影到直线或者平面的时候，图形的不变的性质的科学。

与一般几何的不同：

射影几何中，把无穷远点看作一个理想点，存在一种无穷远直线=一般几何的直线+无穷远点。
两个平行的直线相交于共同的无穷远点，这样在一般几何中，只有不平行的直线才能相交的限制就消失了。

射影几何的重要概念：

中心投影和平行投影，平行投影就是经过无穷远点的中心投影。
射影变换：利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射。
对偶元素：点和线；对偶操作：”过一点作一直线”和“在一直线上取一点”
对偶图形：如果两个图形都是由点和直线组成的，那么如果把一个图形中各元素改为其对偶元素，各运算改为其对偶运算之后，这个图形就变成了另一个图形，那么这两个图形就叫做对偶图形。
在一个只涉及点，线和面的命题中，把各个元素改为其对偶元素，各个运算改为其对偶运算，就得到另一个命题，我们把这两个命题叫做对偶命题。

3.3 mark

在每一种几何学里，主要研究在相应的变换下的不变量和不变性。

4. 常微分方程

一般的方程解的是，一个或者几个未知量的值；但是当我们想知道(建模)一个变化的过程时，一般的方程就无法描述了。比如一个物体自由下落的运动过程，一定不是一个常量，而是一个时间的函数，我们为了求出这样一个函数，就需要微分方程这样一个工具。
微分方程就是要求一个或者几个未知的函数。微分方程精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

4.1 常微分方程的内容

如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程，也可以简单地叫做微分方程。
对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组。

4.2 常微分方程的主要问题

1. 并不是所有的常微分方程都有通解，所以研究一个常微分方程的特解就成了一个主要问题：一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。
2. 大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解。当然，这个近似解的精确程度是比较高的。

5. 非欧几何

5.1 非欧几何的来源

欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，但是第五个“平行线理论”一直备受争议。俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设中，走了另一条路子，提出了一个和欧氏平行公理相矛盾的命题，用它来代替平行公理，然后和欧氏的前四条公理组成一个新的几何系统，然后在这个新的公理系统中，如果推理出现矛盾就证明了第五公设，这就是数学中的反证法。

但是在经过长久的研究之后，罗巴切夫斯基在他新的几何公理系统中得出了一系列逻辑上毫无矛盾的新的定理。至此他得出结论：第五公设不能被证明，他的这套理论和欧式几何一样完善，严密。这就是第一个被提出的非欧几何学：罗氏几何。

逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。

5.2 罗氏几何

罗氏几何是把第五公设用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，在罗式几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗式几何中也同样是正确的。

由于罗氏几何比较反直觉，我们希望用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗式几何是正确的。1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。

直到解释模型的出现，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。

5.3 黎曼几何

黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，黎曼认为存在一种几何学“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”。

黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。

近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。

5.4 三种几何学的关系

日常生活：欧式几何；宇宙空间中或原子核世界：罗氏几何；地球表面研究航海、航空等实际问题：黎曼几何。

6. 计算数学

现代的科学技术发展十分迅速，他们有一个共同的特点，就是都有大量的数据问题。计算数学属于应用数学的范畴，它主要研究有关的数学和逻辑问题怎样由计算机加以有效解决。
计算数学也叫做数值计算方法或数值分析。

6.1 计算数学的内容

五次及五次以上的代数方程以及一些超越方程不存在求根公式，一般只能求它的近似解。怎样找出比较简洁、误差比较小、花费时间比较少的计算方法是数值分析的主要课题。
    1. 在求解方程的办法中，常用的办法之一是迭代法，也叫做逐次逼近法。
    2. 在线性代数方程组的解法中，常用的有塞德尔迭代法、共轭斜量法、超松弛迭代法等等。
    3. 在计算方法中，数值逼近也是常用的基本方法。数值逼近也叫近似代替，就是用简单的函数去代替比较复杂的函数，或者代替不能用解析表达式表示的函数。

7. 运筹学

运筹学的思想在古代就已经产生了，但是作为一门数学学科，用纯数学的方法来解决最优方法的选择安排，确实是晚了很多，运筹学是在二十世纪四十年代才开始兴起的一门分支。主要研究经济活动和军事活动中能用数量来表达的有关策划、管理方面的问题。

7.1 运筹学各分支简介

数学规划（又包含线性规划；非线性规划；整数规划；组合规划等）、图论、网络流、决策分析、排队论、可靠性数学理论、库存论、对策论、搜索论、模拟等等。
     数学规划的研究对象是计划管理工作中有关安排和估值的问题，解决的主要问题是在给定条件下，按某一衡量指标来寻找安排的最优方案。它可以表示成求函数在满足约束条件下的极大极小值问题。
     排队论：它的研究目的是要回答如何改进服务机构或组织被服务的对象，使得某种指标达到最优的问题。比如一个港口应该有多少个码头，一个工厂应该有多少维修人员等。因为排队现象是一个随机现象，因此在研究排队现象的时候，主要采用的是研究随机现象的概率论作为主要工具。排队论在日常生活中的应用是相当广泛的，比如水库水量的调节、生产流水线的安排，铁路分成场的调度、电网的设计等等。
     对策论也叫博弈论，前面讲的田忌赛马就是典型的博弈论问题。系统地创建这门学科的数学家，现在一般公认为是美籍匈牙利数学家、计算机之父——冯·诺依曼。
     搜索论是由于第二次世界大战中战争的需要而出现的运筹学分支。主要研究在资源和探测手段受到限制的情况下，如何设计寻找某种目标的最优方案，并加以实施的理论和方法。

8. 分形几何

8.1 分形几何学的产生

在二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中探讨了英国的海岸线有多长？这个问题依赖于测量时所使用的尺度。如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界，使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，就要用分维。

客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。

8.2 分形几何学的内容

分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。

维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，对于更抽象或更复杂的对象，只要每个局部可以和欧氏空间对应，也容易确定维数。但通常人们习惯于整数的维数。

分形理论认为维数也可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

维数和测量有着密切的关系，下面我们举例说明一下分维的概念。

当我们画一根直线，如果我们用 0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是 0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为 1(大于0、小于2)。

9. 突变理论

突变理论是20世纪70年代发展起来的一个新的数学分支。现实生活中存在许多不可微的过程，微积分就无法解决：某地突然地震，房屋突然倒塌，病人突然死亡……。这种由渐变、量变发展为突变、质变的过程，就是突变现象，微积分是不能描述的。突变理论就是建立一种关于突变现象的一般性数学理论来描述各种飞跃和不连续过程。

1972年法国数学家雷内·托姆在《结构稳定性和形态发生学》一书中，明确地阐明了突变理论，宣告了突变理论的诞生。

9.1 突变理论的内容

突变理论主要以拓扑学为工具，以结构稳定性理论为基础，提出了一条新的判别突变、飞跃的原则：在严格控制条件下，如果质变中经历的中间过渡态是稳定的，那么它就是一个渐变过程。

突变理论根据质变中经历的中间过渡态是稳定的还是不稳定的，来判断一个过程是渐变的还是突变的：例如拆一堵墙，从上到下一块砖一块砖的拆就能保持墙的稳定，渐渐地把墙拆掉，如果从下到上拆的话，不一定到哪一步就导致墙的结构不稳定，墙就会轰然倒塌，这就是突变。

突变的类型：按照突变理论，自然界和社会现象中的大量的不连续事件，可以由某些特定的几何形状来表示。托姆指出，发生在三维空间和一维空间的四个因子控制下的突变，有七种突变类型：折迭突变、尖顶突变、燕尾突变、蝴蝶突变、双曲脐突变、椭圆脐形突变以及抛物脐形突变。自然界还有些过程是不可逆的，比如死亡是一种突变，活人可以变成死人，反过来却不行。这一类过程可以用折迭突变、燕尾突变等时函数最高奇次的模型来描述。所以，突变理论是用形象而精确的得数学模型来描述质量互变过程。

突变理论提出一系列数学模型，用以解释自然界和社会现象中所发生的不连续的变化过程，描述各种现象为何从形态的一种形式突然地飞跃到根本不同的另一种形式。如岩石的破裂，桥梁的断裂，细胞的分裂，胚胎的变异，市场的破坏以及社会结构的激变……

10. 模糊数学

二十世纪六十年代，产生了模糊数学这门新兴学科。现代数学是建立在集合论的基础上。经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上，它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可。对于那些外延不分明的概念和事物，经典集合论是暂时不去反映的，属于待发展的范畴。

我们研究人类系统的行为，或者处理可与人类系统行为相比拟的复杂系统，如航天系统、人脑系统、社会系统等，参数和变量甚多，各种因素相互交错，系统很复杂，它的模糊性也很明显。从认识方面说，模糊性是指概念外延的不确定性，从而造成判断的不确定性。

10.1 模糊数学的研究内容

1965年，美国控制论专家、数学家查德发表了论文《模糊集合》，标志着模糊数学这门学科的诞生。

第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系。查德以精确数学集合论为基础，对其概念进行修改和推广。提出了模糊集合：比如“老人”是个模糊概念，70岁的肯定属于老人，它的从属程度是 1，40岁的人肯定不算老人，它的从属程度为 0，按照查德给出的公式，55岁属于“老”的程度为0.5，即“半老”，60岁属于“老”的程度0.8。查德认为，指明各个元素的隶属集合，就等于指定了一个集合。当隶属于0和1之间值时，就是模糊集合。

第二，研究模糊语言学和模糊逻辑。查德采用模糊集合理论来建立模糊语言的数学模型，使人类语言数量化、形式化：如果我们把合乎语法的标准句子的从属函数值定为1，那么，其他文法稍有错误，但尚能表达相仿的思想的句子，就可以用以0到1之间的连续数来表征它从属于“正确句子”的隶属程度。这样，就把模糊语言进行定量描述，并定出一套运算、变换规则。模糊逻辑是说并不是是和非两个逻辑关系，还有其它的逻辑关系，就是多值逻辑。

第三，研究模糊数学的应用。研究确定性对象的数学与不确定性对象的数学沟通起来，在模糊数学中，目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、模糊概率、模糊语言学、模糊逻辑学等分支。

10.2 模糊数学的应用

模糊数学是一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面。在气象、结构力学、控制、心理学等方面已有具体的研究成果。

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