哥德巴赫猜想是一个纯数学命题，是偶数的分类问题。偶数=奇合数+奇合数=奇合数+素数=素数+素数。本来没有问题的事，可在数学领域里，总要把每一个命题是真的还是假的要判断清楚，德国的一个中学数学教师哥德巴赫(1690-1764)想证明“偶数=素数+素数"这个命题是不是成立的？可他怎么也证不出来，于是，1742年6月7日他写信给大名鼎鼎的瑞士数学家欧拉(1707-1783)让他求解，欧拉不以为是，几天后他在给学生上课时突然要给学生证明哥德巴赫的问题，轻松的说这问题不难，可是一直他在课堂演算了三天也没有把它拿下，这当儿屋外打雷，他借此自嘲的说，老天在惩罚他的自大，这问题可能很难。确实哥德巴赫猜想存在了270多年了的世界数数难题，但它在我这里是一道算术题了，当然，我用了十五年多的时间才搞清了它的真面目，从2008年发表《哥德巴赫猜想的证明》(见[1])，到2021年发表《诸多素数问题与容斥原理》(见[6])历时十三年，这才有底气的说哥德巴赫猜想是一道初等数学题，当然，读者一定心存疑问，不敢相信，但数学是逻辑推理的学问，任何的诡辩在它这里都是无用的，哥德巴赫猜想的许多所谓的“证明″都是如此。

没有思路没有方法是无法论证数学问题的。几乎一百年内，哥德巴赫猜想的证明似乎还是完全无法进行的。直到1931年，当时一个不知名的年轻苏联数学家斯尼尔曼(1905-1938)取得一个完全没料想到的成就，它使所有的专家都感到吃惊，他证明了每个正整数能表示成不超过300000个(30万)素数之和，虽然与证明哥德巴赫猜想当初的目标来比，这个结果是很可笑的，但他的思路开拓了a+b模型的证明之路，在后近二百年的时间里，人们几乎没别的思路，一直沿他的思路把哥德巴赫猜想从“9+9"一直推到陈景润(1933-1996)的“1+2"止，再也无法推进了，所谓的“1+2″就是偶数=素数+素数x素数，近三百年才论证了一个“1+2"，说明了攻克它的道路之艰难，无怪乎把哥德巴赫猜想誉为数论的明珠也不为过，陈景润的“1+2"是论证哥德巴赫猜想的最好成果，也让我们中国人自豪。但在今天看来，几+几的思路解决哥德巴赫猜想无疑是隔靴搔痒。但真理就是这样，真相总是隐藏在表象之下，而真相不一定很复杂。

近三百年来，全世界研究哥德巴赫猜想的人不计其数，我国著名的数学家华罗庚(1910-1985)，王元(1930-2021)等人在论证哥德巴赫猜想的道路上都留下了足迹。但论证世界性数学难题并不是模糊数论(高等数论)的专利，初等数论(精确数论)也应该有份，初等数论解决哥德巴赫猜想并不是喻为骑自行力登月球的不可能，初等数论的重要性正象中国著名数学家林群(1935-)院士给《初等数学研究在中国》刊物的题字所说，“在很多情形，高等数学与初等数学难解难分，要进一步挖出初等数学的潜力"。

哥德巴赫猜想的问题实质是什么？是一个偶数表示成两个素数的和。2=1+1，4=2+2=1+3，6=1+5=3+3，8=1+9=3+7=5+5等。1奇数，不把它作素数，但它符合素数(或质数)的定义:一个只能用1和自身所整除的正整数，称为素数，2符合素数的定义，它是唯一的偶素数。把1不作为素数，哥德巴赫猜想表述为，任何大于4的偶数都能表为两个素数之和。

对针偶数=素数+素数，我们可以制造它存在的数学模型。如，10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5=6+4=7+3=8+2=9+1。这看似不难，太容易做到了，但它却是解决问题的钥匙，重要性在于它把解决哥德巴赫猜想归纳到素数的筛法中，从而，我们可以筛除合数，获取偶数=素数+素数。

筛法原理，只有埃氏筛法原理了，即在一定的数的范围内，筛除了合数，留下的就是素数了。何为筛法？据说他把一张纸从1，2，3，…写满自然数，挖掉了1和所有的合数，留下了素数(这就是人们熟悉的“爱拉托塞姆"(Eratosthems)筛法)，这张纸如筛，故曰筛法。

筛取少量的素数，是很容易做到的，这却是入手处。我们常常会从少量事物或演算中发现事物的一般规律，基于特殊包含一般的哲学原理。反复研究埃氏筛法，我完成了2008的论文《哥德巴赫猜想的证明》(见，总结出了素数，孪生素数，哥德巴赫猜想个数的近似表达式，但没有把过程提升到理论层面上。在后面的研究过程中，才发现自己的埃氏原理筛法是欧拉函数筛法(在2017年我首次命名，见[4])。

欧拉函数是什么？如，1到10的10个自然数中，与10互质的自然数有(1，3，7，9)四个数，记Q(10)=4。一般地，在1到n的自然数中，与n互质的自然数记为Q(n)即欧拉函数。把n进行乘法分解，若设它的质因子数是P1，P2，…，Pt(Pt是n的第t个质因子，是最大的素数，n=p1XP2X…XPt)，那么，

Q(n)=n(1-1/P1)(1-1/P2)…(1-1/Pt).<1>

证明以5的3次方和10为例，可知一般，可由容斥原理予以证明欧拉函数。

5的3次方是125，在1到125个自然数中，与125互质的数或与5互质的数有多少个？先看125÷5=25反映了什么？反映了125个自然数中有25个含5的因子数，这是它包含了自然数集中一个基本的性质:任意连续的a(a>1)个自然数中，仅有一个自然数能被a所整除。也是我们司空见惯的b÷a=c除法的意义，即在连续的b个自然数中至少含有[c]个([c]表示取c的整数部分)能被a整除的自然数。所以，把自然数集看成一个整体1，那么，有(1-1/a)份个数不能被a所整除。于是Q(125)=125(1-1/5)=100.

10个数中有(1-1/2)份个数与2互质，有(1-1/5)份个数与5互质，由乘法原理，这样与10互质的数为

Q(10)=10(1-1/2)(1-1/5)=4.

若继续挖掘欧拉函数的隐含意义，就会发现Q(2)，Q(2X3)，Q(2X3X5)，…Q(m)的意义，由此我发现了欧拉函数筛法。

欧拉函数筛法

①素数近似函数式

设m=2X3X5X7X…XPt，Pt是第t个素数。

从(1，2)中筛除2，留下1；再从(1，3，5)中筛除3，留下了(1，5)；再从(1，5，7，11，13，17，19，25，23，29)中筛除5因子数，留下了(1，7，11，13，17，19，23，29)，它们的个数分别是Q(2)，Q(2ⅹ3)，Q(2Ⅹ3X5)的个数值，这样欧拉函数Q(m)的意义就明确了，它不旦反映了在1到m个数中筛除了2，3，…，Pt的因子数后留了Q(m)个与m互质的自然数，也蕴含了筛取素数的方法。

把欧拉函数推广到在任意连续的m个自然数中，依然有同样结论。也可以把它推广到孪生素数存在的数域中和哥德巴赫猜想存在的数域中，依然有类似的结果。正是欧拉函数的推广定理(见[4])，让我们对下面素数个数的近似函数式有了准确的理解。

求n以内的素数，可以用2，3，…，pt(其中pt≤√n)这t个素数筛取所有素数，记A(n)表n以内的素数个数(不包含筛码的个数t，但包含1)，即A(n)表示的个数是n以内的自然数(或n个连续的自然数)中与m互质的自然数个数，由于Q(m)也表示了m个自然数中与m的互质的自然个数，所以，它们的平均值近似相等，得

A(n)/n≈Q(m)/m。即

A(n)≈n(1-1/2)(1-1/3){1-1/5)…(1-1/pt).

2008年发表的《哥德巴赫猜想的证明》文章中，我引进了参数a，使

A(n)=n(1-1/2)(1-1/3){1-1/5)…(1-1/pt)+a.

乎略a后，并给近似式分数之间插入(1-1/4)(1-1/6)(1-1/8)…后，就得到了A(n)≥√n，我把这个结果帖在《哥德巴赫猜想吧》里时，网友进行了热烈讨论，有人质疑√n+a会不会为负数？尽管如此，这篇文章我首次把素数，孪生素数，哥德巴赫猜想三者统一了起来，就得到了n以素数个数A(n)不少于[√n]个，n以内孪生素数个数B(n)不少于[√n/2]个，n(偶数)表两素数之和的个数C(n)不少于[√n/4]个的结果，这个结果让我们看到哥德巴赫猜想的存在性，可以不夸张的说，也是270多年以来，它是论证哥德巴赫猜想突破性的进展！由于这篇文章理论依据不充分，广大网友对此心存疑问，这也让我十多年来不断研究寻找它的理论依据。结果我发现了颠覆性筛法(见[5])，颠覆性筛法完美的诠释了素数的存在性，孪生素数的存在性和哥德巴赫猜想的存在性，至此，它让我们清晰看到了这三个素数问题的真面目。

②孪生素数近似函数式

孪生素数如(3，5)，(5，7)，(11，13)等，它的存在数域记为B，B:{(1，3)，(2，4)，…，(m，m+2)}，其中(a，a+2)是集中的元素，元素的性质很容易观察得到，相邻的两个元素中，只有一个元素含2的因子数，连续的a(a>2)个元素中仅有2个元素被a整除(指，元素中至少有一个数能被a整除)，若m=p1XP2X…ⅹPt(从2开始的t个素数之积)，集合B中元素符合了欧拉函数的条件，得Q(m)=(2-1)(3-2)…(Pt-2)。同样，也可由欧拉函数筛法筛取孪生素数。如

从(1，3)，(2，4)中筛除含2因子的元素，留(1，3)；再从(1，3)，(3，5)，(5，7)中筛除含3因子的元素，留(5，7)；再从(5，7)，(11，13)，(17，19)，(23，25)，(29，31)中筛除含5因子的元素，得(11，13)，(17，19)，(29，31)，接下来给每个元素构造不含2X3X5因子的7个元素，以(11，13)为例，构造的7个元素是(11，13)，(41，43)，(71，73)，(101，103)，(131，133)，(161，163)，(191，193)，其中只有2个元素含7因子数，就这样继续做下去，可得到想要的孪生素数。

同样的意义，在集合B中，Q(2)表示了相邻的两个元素中有Q(2)=1个元素与2互质，Q(2X3)表示了连续的6个元素中，有Q(2x3)=(2-1)(3-2)=1个元素与6互质，Q(2x3X…ⅹPⅰ)表示了任意连续的2x3X…ⅹPⅰ个元素中有Q(2x3X…ⅹPⅰ)个元素与2x3X…ⅹPⅰ互质，这种象现的依据正是欧拉函数在孪生素数存在数域B中的推广，由B(n)/n表示集合B中n个元素与m互质的元素个数平均值，Q(m)/m也表示了集合B中m个元素与m互质的元素的平均值，所以

B(n)/n≈Q(m)/m，即

B(n)≈n(1-1/2)(1-2/3)(1-2/5)…(1-2/Pt).

仿A(n)的方法，得B(n)≥√n/2≥[√n/2].

③哥德巴赫猜想近似函数式

命题1:设集合C:{(1，2n-1)，(2，2n-2)，…，(m，2n-m)，m=2X3X5X7X…XPt(t个素数之积，Pt≤√2n)，C(2n)表集合C中n以内的元素与m互质的元素个数(包含(1，2n-1)当2n-1是素数时的状况)，那么，

C(2n)≈n(1-1/2)(1-r2/3)(1-r3/5)…(1-rt/Pt)

或C(2n)≥[√2n/4].

其中，当Pⅰ整除2n时，rⅰ=1；当Pⅰ不整除2n时，rⅰ=2。

证明:集合C中元素性质是，相邻的两个元素中仅有一个元素含2因子数，连续的a(a>2)个元素中，若a整除2n，a个元素中仅有一个元素能被a整除；若a不整除2n，a个元素中仅有2个元素能被a整除。把欧拉函数推广到集合C中，有

Q(m)=(2-1)(3-r2)(5-r3)…(Pt-rt).

同样的意义，Q(2)表示了连续的2个元素中有一个元素与2互质，连续的6个元素中有Q(6)个元素与6互质，连续的n个元素中有C(2n)个元素与m互质，于是有

C(2n)/n≈Q(m)/m.即

C(2n)≈n(1-1/2)(1-r2/3)…(1-rt)/Pt).

得C(2n)≥√2n/4≥[√2n/4].

颠覆性筛法

传统的筛法是埃氏筛法，从2开始，筛除那些是2的倍数的数，再筛除那些是3的倍数的数，…。颠覆性筛法正好相反，它从最大筛码开始筛除那些是它倍数的数，由最到小一直筛除到那些是2倍数的数止。如

1，2，3，4，5，

6，7，8，9，10，

11，12，13，14，15，

16，17，18，19，20，

21，22，23，24，25。

用5，4，3，2作为筛码，由大到小进行筛除。5筛除了5，10，15，20，25共5个数，4筛除了4，8，12，16，24共5个数，3筛除了3，6，9，18，21共5个数，2筛除了2，14，22共3个数，留下了1，7，11，13，17，19，23。

它的规律是，每个筛码筛除的数的平均值不超过最大的筛码。

④素数的存在性证明

命题2， 已知 在数集A：{1,2，…，p2}（p为大于1的正整数）中，用A（n）表数n以内的素数个数（不包含p和小于p的素数，但包含1），p=[√n]（[a]表示正实数a的整数部分）,那么，A（n）≥[√n](n=4、9、10时取等号）。

证明 （颠覆性筛法）对于数集A，依次用连续的整数p，p-1，…，2，由大到小进行筛除能被它们整除的数，（p-1）个筛码、每个筛码平均筛除p个数，它们最多筛除了

p（p-1）个数，最后至少留下了p个素数（包含1）。

它的依据是除法的意义：在连续的a(a>1个正整数中只有一个数能被a所整除，把正整数集合看成1，那么，能被a整除的数就有1/a份，留下了不能被a整除数的（1-1/a）份。即对于PXP/p=P，表示了在数集A中被p整除的数有)p个，留下了pXp(1-1/p)个不能被p整除的数； PXP/(p-1)-P/(p-1)=P表示了在数集A中筛去含p因子数后又被（p-1）整除的数的个数，留下了个不能被p和（p-1）整除的数pXp(1-1/p)(1-1/(p-1))；…；一直到筛除含2的因子数个止，这是假设筛码都是互质的情况下的极值筛法。

因为两个相邻的数中有一个偶数，三个连续的数中有一个3的因子数，更一般的有命题：设集合M：{a,2a,…,na},其中，a，n均是大于1的正整数；集合N：{b,2b,…,nb},其中，b，n均是大于1的正整数；a,b的最大公约数是c，记（a,b）=c,那么，集合M中连续的b/c个数中就有一个数能被b整除，或集合N中连续的个数a/c中就有一个数能被a整除（证明略）。这样pXp/(p-n)-np/(p-n)=p的意义就明确了:pXp/(P-n)表示了含P-n因子数的总数，np/(p-n)表示了在筛去的p，p-1，…，p-n+1因子数的总数中含（p-n）因子数的个数；或者，在集合{1,2，…，pXp/(p-n)}（即集合A中含p-n因子数的总数）中筛除p，p-1，…，p-n+1各因子数后，留下的就是（p-n）因子数了，因为，其中不含p因子数的有（1-1/p）份，不含（p-1）的因子数有（1-/(p-1)）份，…，不含（p-n+1）因子数有（1-1/(p-n+1）份，由乘法原理，筛除了p，p-1，…，p-n+1各因子数后留下的（p-n）因子数有

pXp/(p-n)(1-(p，p-n)/p)(1-(p-1，p-n)/(p-1))…(1，(2，p-n)/2)≤p.（参考文献[6]）

这里假设（p-n）与p，p-1，…，p-n+1各筛码数都是互质的，即（p-n，p）=（p-n，p-1）=…=（p-n，p-n+1）=1，含（p-n）因子数最多为p个；如果（p-n）与其中一些筛码不互质，那么它含（p-n）的因子数更少。但当（p-n）为素数（p-n>p/2）时，且它与p，p-1，…，p-n+1都互质，它筛除的数的个数有可能多于p的情况，然而，合数筛除的数的个数又不多于p，所以其平均值不多于p。

所以，在假设筛码都是互质的情况下，筛除是过度的，因而，从pXp以内的正整数中最多筛去p（p-1）个的数，至少留下p个素数，关系式表示为

pXp(1-1/p)(1-1/(p-1))…(1-1/2)=P.

对于A(n)，这里p=[√n]。所以，A(n)≥[√n](n=4,9，10时取等号).

⑤孪生素数存在性的证明

命题3 已知 在集合B：{（1,3），（2,4），…，（p2，p2+2）}（p为大于2的正整数）中，用B（n）表n以内的孪生素数（不包含p和小于p的孪生素数）个数，p=[√n],那么，B(n)≥[√n/2].

证明 （颠覆性筛法）在集合B中，相邻的两个元素中仅有一个元素含2的因子数，连续的a（a>2）个元素中，仅有两个元素能被a所整除（指，元素中至少有一个数能被a所整除）。

当P为大于2的奇数时，依次用连续的奇数p，p-2，…，3和2，筛除集合B中能被它们整除的元素；当p为大于2的偶数时，依次用P与连续的奇数p-1，p-3，…，3和2，筛除集合B中能被它们整除的元素，最后留下的元素就是孪生素数，关系式表示为

pXp(1-2/p)(1-2/(p-2))…(1-2/3)(1-1/2)=P/2（p为奇数）；

pXp(1-1/p)(1-2/(p-1))(1-2/(p-3))…(1-2/3)(1-1/2)=P/2(为偶数）.

它的意义与命题2相同，若p是大于2的奇数时，假设筛码都是互质的，每个奇数平均筛除2p个元素，即p，p-2，…，5，3奇数最多筛去p（p-1）个的元素，至少留下p个元素，最后再筛除含2因子的元素；若p是大于2的偶数时，先筛除个被p整除的元素，再用连续的奇数p-1，p-3，…，3进行筛除，(p-2)/2个奇数最多筛去p（p-2）个的元素，至少留下p个元素，最后再筛除含2因子的元素。即在集合B中，至少存在[p/2]个与互质的孪生素数。

因为p=[√n]，所以，B(n)≥P/2≥[√n/2](n=9,10，16, 25，26,27，28,36，37,38,39，40时取等号).

⑥哥德巴赫猜想存在性的证明

命题4 已知 在集合C：{（1,2n-1），（2,2n-2），…，（p2，2n-p2）}中，n(大于7)和p都为正整数， p=[√2n ]，用C（2n）表示偶数2n表两素数之和的个数（不包含p和小于p的两素数之和的个数,但包含“2n=1+素数”可能成立的情况）。那么，C(2n)≥ [√2n/4](n=8时取号).

证明 （颠覆性筛法）在集合C中，在连续的a个元素中，若a整除2n，则仅有一个元素能被a整除；若a（a>2）不整除2n，则仅有2个元素能被a整除。易验证C(4)=1,C(6)=C(8)=2,C(10)=1,C(12)=C(14)=2,C(16)=1.

若p为大于2的偶数，依次用p与连续的奇数p-1，p-3，…，3和2对集合C进行筛除；若p为大于2的奇数，依次用连续的奇数p，p-2，…，3和2对集合C进行筛除，最后留下的就是（素数，素数）元素（或称“1+1”数对）了。假设每个大于2的筛码都不整除2n，那么，此题的筛法过程和命题2的筛法过程就完全一致，由于集合C中含有（a，b）和（b，a）的对称元素，留其一个，最后可得所求的“1+1”数对的元素了，关系式表示为

pXp(1-2/p)(1-2/(p-2))…(1-2/3)(1-1/2)X1/2=P/4（p为奇数）；

pXp(1-1/p)(1-2/(p-1))(1-2/(p-3))…(1-2/3)(1-1/2)x1/2=P/4(为偶数）.

综上，偶数2n表两素数之和的个数不少于[p/4]个，即

C(2n)≥[p/4]=[√2n/4]（n=8时取等号）.

可以看到，素数、孪生素数、哥德巴赫猜想三者的存在性是统一的问题，由颠覆性筛法得到了它们工整且优美的存在性结果，颠覆性筛法也为筛取素数的家族里增加了一个新的方法。

至此，哥德巴赫猜想从提出到现在已经280年了，全世界研究它的人不计其数，在中国研究它的人也无法统计，也出现了众多的“哥德巴赫猜想的证明”文章，但在我接触过的关于哥德巴赫猜想的文章里，几乎没有人知道哥德巴赫猜想的极小值是[√2n/4]。我研究哥德巴赫猜想也受到了上世纪70年代徐迟的文章《哥德巴赫猜想》的影响，我从心里崇拜陈景润，在我教师生涯中，必然会解答许多数学题，也会研究一些数学难题，研究哥德巴赫猜想是在突然的灵感下展开的持续性的工作，到现在我给它划上了句号。那么，我证明的哥德巴赫猜想到底给数学领域增添了什么？我想，最主要的是我的思想方法，其次是欧拉函数的推广定理，欧拉函数筛法和颠覆性筛法，它们都是我首以提出的，在这里，我想起了著名数学家王元说过的话，他说：“哥德巴赫猜想的重要性在于它是一个数学模型，以它作为模型，可以给数学带来新的方法、新的概念和新的理论。如果一个问题的证明不能带来新方法、新思想和新理论，那么这个问题就不重要，这样的问题多得很。”

他指出哥德巴赫猜想是一个的数学模型，正因为这样的思想，我建立了本文描述的素数、孪生素数、哥德巴赫猜想存在的三个数集A，B，C。凭借这三个数集，应用了欧拉函数的推广定理，才得到了它们近似的函数表达式，欧拉函数的推广定理的重要性会逐渐体现出来，如，用它很容易证明类似的素数组(5，7，11)是无限的，还有型如(5，7，11，13)的素数组也是无限的，等等。

我一个平凡的中学数学教师取得这点成绩已经很满足了，哥德巴赫猜想虽是世界性数学难题，证明了它就证明了，证明了它不会改变什么，或许可能，它会使许多人不必为它再去浪费许多时间精力了。谢谢读者！

参考文献：

[1] 李科技，哥德巴赫猜想的证

明[A]，中国管理科学文献[C]，2008年.主编王兴成 陈贵；846页.

[2] 李科技，哥德巴赫猜想“1+1”的证明[J]，渭南师范学院学报，2010.s.第96页.

[3] 李扩继，素数问题再论[J]，科技展望，2017,6；215页.

[4] 李扩继，再证哥德巴赫猜想[J]，科技展望，2017,12；250-251页.

[5] 李扩继，容斥原理的应用[J]，中国高新区，2019，（22）:51-53页.

[6] 李扩继，诸多素数问题与容斥原理[J]，初等数学研究在中国（第3辑），2021.5，主编 杨学枝 刘培杰；68-75页.

编辑于 2022-01-25 05:22 · 著作权归作者所有

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