问题描述

这是2003年电设国赛C题第二个问，移相网络部分的图片。
各部分功能都已经在图中标注出来了

让我们一个一个的来分析

相位偏移部分

稍微有一点电路基础的人都可以看出，相位偏移部分仅仅是由两个滤波器（一个高通，一个低通）外加隔离所组成的。我们平时在用的时候，总是只考虑其对频率的影响，而忽视了书中所说的相位变化。这里以其中的低通滤波器为例，来讲一下其中的相位变化。

低通滤波器相位偏移的计算公式

V o = V i ∗ ( 1 j ω C R + j ω C ) = V i ∗ ( 1 R ∗ j ω C + 1 ) \begin{aligned} V_o&=V_i*(\frac{\frac 1 {j \omega C}} {R + {j \omega C}}) \\ &=V_i*(\frac1 {R*j\omega C + 1}) \end{aligned} Vo=Vi∗(R+jωCjωC1)=Vi∗(R∗jωC+11)

V o V i = ( 1 R ∗ j ω C + 1 ) \begin{aligned} \frac {V_o} {V_i} = (\frac1 {R*j\omega C + 1}) \end{aligned} ViVo=(R∗jωC+11)
根据欧拉公式，这里我们将Vo和Vi的格式变化一下
让 V o = I o ∗ e j θ o {V_o} = I_o*\Large{e}^{j\theta_o} Vo=Io∗ejθo ； V i = I i ∗ e j θ i {V_i} = I_i*\Large{e}^{j\theta_i} Vi=Ii∗ejθi
其中 I o I_o Io和 I i I_i Ii分别是二者的有效值，
而 θ o \theta_o θo和 θ i \theta_i θi则是二者的相位偏移量

由上面的式子可知 I o = 1 I_o=1 Io=1， θ o = 0 \theta_o=0 θo=0
易得：
I i = 1 + ( ω R C ) 2 I_i = \sqrt{1 + {(\omega RC)^2}} Ii=1+(ωRC)2 ，
θ i = arctan ⁡ ( ω R C ) \theta_i = \arctan(\omega RC) θi=arctan(ωRC)

带回到上面的式子
V o V i = ( 1 1 + ( ω R C ) 2 ) ∗ e j ( 0 − arctan ⁡ ( ω R C ) ) \begin{aligned} \frac {V_o} {V_i} = (\frac1{\sqrt{1 + {(\omega RC)^2}}})*\Large{e}^{j(0- \arctan(\omega RC))} \end{aligned} ViVo=(1+(ωRC)2 1)∗ej(0−arctan(ωRC))
现在电路的功能就显而易见
1 1 + ( ω R C ) 2 \frac1{\sqrt{1 + {(\omega RC)^2}}} 1+(ωRC)2 1是用来计算截止频率的，相信大家已将很熟悉了
而 ( 0 − arctan ⁡ ( ω R C ) ) (0- \arctan(\omega RC)) (0−arctan(ωRC))表示偏移角度，
负号表示这个电路可以带来相位滞后，
( ω \omega ω可能不太方便计算，可以将其换成 2 π f 2\pi f 2πf)
通过公式，你可以计算出具体的相位偏移量

另外一路的高通滤波部分与其计算过程相近，可以产生相位超前，这里就不过多赘述。

相位合成部分

相位合成部分的组成非常简单，就是一个电位器。
但它的计算很有讲究。

关于复平面的向量合成

在高中我们就学过关于向量合成的基本公式
U 3 = U 1 ∗ y x + y + U 2 ∗ x x + y \begin{aligned} U_3=U_1*{\frac y {x+y}} + U_2*{\frac x {x+y}} \end{aligned} U3=U1∗x+yy+U2∗x+yx
那么这与我们的电路有什么关系呢？

来看这张图
由于下一级加了隔离，所以我们可以将电位器中间引脚外面等效为断路，而两路输入信号等效为两个交流电压源。

利用叠加定理可以求得
U = U 1 ∗ R 2 R 1 + R 2 + U 2 ∗ R 1 R 1 + R 2 \begin{aligned} U=U_1*{\frac {R_2} {R_1+R_2}} + U_2*{\frac {R_1} {R_1+R_2}} \end{aligned} U=U1∗R1+R2R2+U2∗R1+R2R1
看起来是不是很眼熟？没错这里的电压复向量也遵循矢量和成。到这里其实你已经可以计算出合成后的电压的有效值和相位了，不过计算起来还是太麻烦。那么有没有什么相对简单是数学公式呢？

对于本题的进一步数学推理

回归本题的要求，本题要求偏移向量范围是+45°到-45°，为了方便计算与合成，我们将前面两路 U 1 ， U 2 U_1，U_2 U1，U2的相位分别设置为+45°和-45°，且二者有效值相同。
设输入电压的有效值为 I i I_i Ii，输出电压的有效值为 I o I_o Io，相位角为 θ \theta θ

有效值：
I o = I i ∗ R 1 2 + R 2 2 R 1 + R 2 = 2 2 I i ∗ 1 + ( R 1 − R 2 R 1 + R 2 ) 2 \begin{aligned} I_o &= I_i * {\frac {\sqrt{R_1^2 + R_2^2}} {R_1+R_2}}\\ &=\frac{\sqrt2}{2}I_i*\sqrt{1 + (\frac{R_1-R_2}{R_1+R_2})^2} \end{aligned} Io=Ii∗R1+R2R12+R22 =22 Ii∗1+(R1+R2R1−R2)2
相位：
θ = arctan ⁡ ( R 2 − R 1 R 2 + R 1 ) \begin{aligned} \theta = \arctan(\frac{R_2 - R_1}{R_2 + R_1}) \end{aligned} θ=arctan(R2+R1R2−R1)

幅度控制部分

这里没有太多可说的。不过需要注意的是，这里的隔离作用对前面影响很大。如果这里的阻抗不够大的话，会让前面相位合成的公式不成立。

其他

如果想拓展相位移动范围，你可以选择多加几级，也可以增加每一级的相位偏移范围。
就比如说我想让相位移动范围达到 ± 180 ° \pm180° ±180°，那么我可以使用三级叠加，每级相位偏移 ± 60 ° \pm60° ±60°。
（注：单级相位偏移越大，移相过程中的有效值变化也就越大，并不是一级移相范围越大越好）

重庆邮电大学B311实验室

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