前面两回构造了实数系, 并且证明了实数全体构成一个有序域, 且有理数域在同构意义下是实数域的子域. 那么实数是否可以描述一些有理数所不能描述的自然界的规律呢? 答案是肯定的.

(性质) 存在实数 $r>0$ 使得
$$r^2=2.$$
(上式的意思实际上是存在有理数基本列 $(q_n)$ 使得 $(q_n^2)=(2)$.)

证明. 这里采用构造性证明. 归纳地定义数列如下: $q_1=2$,

$$q_{n+1}=\frac{1}{2}q_n+\frac{1}{q_n},\quad n\geq 1.$$
在第二回已经说明了 $(q_n)$ 是一个基本列, 下面说明:
$$(q_n)^2=2.$$
事实上,
$$q_{n+1}^2-2=\frac{(q_n^2-2)^2}{4q_n^2}.$$
由此式可知:
$$q_n^2> 2,\quad \forall n\geq1.$$
所以
$$q_{n+1}^2-2\leq\frac{1}{8}(q_n^2-2)^2,\quad \forall n\geq1.$$
$$\log(q_{n+1}^2-2)\leq 2\log(q_n^2-2)-\log8.$$
\begin{align*}
\log(q_{n+1}^2-2)-\log8&\leq2\left(\log(q_n^2-2)-\log8\right)\\
&\leq\cdots\\
&\leq2^n\left(\log(q_1^2-2)-\log8\right)\\
&=-2^n\log(4).
\end{align*}
所以
$$0<q_{n+1}^2-2\leq 8\cdot4^{-2^n}.$$
即
$$(q_n)^2=(2).$$

在我们日常生活中, 我们习惯了用十进制小数去表示一个实数, 这种表示本质上是给出了这个基本列的前 $n$ 位小数, 用前 $n$ 位小数的精度在 $10^{-n}$ 级别.

在Python中输入以下代码:

s=2

for i in range(100):

s=s/2+1/s

运行结果如下:

s

1.414213562373095

通常取1.414213562373作为正方形边长的一种近似, 而用 $\sqrt{2}$ 表示其长度.

下面来给出实数系的基本定理, 这也是当初这么构造实数的一个动机.

(完备性定理) 设 $(r_n)_{n\geq1}$ 是 $\mathbb{R}$ 中的基本列, 则存在唯一的 $r\in\mathbb{R}$ 使得
$$\lim_{n\rightarrow\infty}r_n=r.$$

(单调有界定理) 设数列 $(a_n)$ 单调递增, 且有上界, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$ 存在.

(确界存在定理) 设数集~$A$~有上界, 则一定有上确界.

(Bolzano-Weierstrass定理) 设数列 $(a_n)$ 有界, 则一定存在收敛子列 $(a_{n_k})$.

(Heine-Borel定理) 设有一族开区间 $\{(a_\lambda,b_\lambda)\}_{\lambda\in \Lambda}$ 覆盖了闭区间 $[a,b]$, 即
$$[a,b]\subset\bigcup_{\lambda\in \Lambda}(a_\lambda,b_\lambda).$$
则一定存在这族开区间中的有限个 $\{(a_i,b_i)\}_{i=1}^n$ 覆盖 $[a,b]$.

(闭区间套定理) 设 $\{[a_n,b_n]\}_{n\geq1}$ 是闭区间套, 即

$$[a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n],\quad n\geq1,$$
且有
$$\lim_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)=0.$$
则存在唯一的 $\xi$ 使得
$$a_n\leq\xi\leq b_n,\quad\forall~n\geq1.$$